Fisica
Calcolatrice di regressione lineare
Incolla le coppie di misure x e y, con la σ di ogni y se ce l'hai, e ottieni la retta dei minimi quadrati con le incertezze di pendenza e intercetta, già arrotondate come in una relazione, il coefficiente di correlazione e il grafico con i punti.
La retta migliore, e quanto è incerta
Il metodo dei minimi quadrati sceglie la retta che rende minima la somma dei quadrati delle distanze verticali fra i punti e la retta. Il risultato ha una forma chiusa: la pendenza è m = (n·Σxy − Σx·Σy)/(n·Σx² − (Σx)²) e l'intercetta si ricava di conseguenza. In laboratorio però il numero da solo non basta, perché quasi sempre la pendenza è la grandezza fisica cercata: la costante elastica da forza e allungamento, la resistenza da tensione e corrente, g da un grafico di 2h contro t².
Per questo servono le incertezze. Se ogni misura di y ha la sua σ, il fit si pesa con 1/σ² e le incertezze di pendenza e intercetta vengono direttamente dalle barre d'errore. Il χ² misura poi quanto i punti si discostano dalla retta in unità delle loro barre: se diviso per i gradi di libertà vale circa 1, retta e incertezze sono coerenti; molto più grande significa che le barre sono sottostimate o che la relazione non è lineare; molto più piccolo, che sono sovrastimate.
Senza σ sui dati, l'unica stima possibile viene dalla dispersione dei punti attorno alla retta, con n − 2 gradi di libertà perché due parametri sono stati ricavati dagli stessi dati. Il coefficiente di correlazione r dice quanto i punti sono allineati, ma non è un'incertezza: un r di 0,999 può convivere con una pendenza incerta del 5 % se i punti sono pochi.
Errori frequenti
- Usare r o R² come misura della bontà del risultato: dicono quanto i dati sono allineati, non quanto è precisa la pendenza. Per quello servono σ_m e σ_q.
- Forzare la retta per l'origine quando la legge non lo prevede, o non forzarla quando lo prevede: un'intercetta compatibile con zero entro l'incertezza è la verifica, non un dettaglio da eliminare.
- Scambiare x e y: la regressione minimizza le distanze verticali, quindi sull'asse x va la grandezza misurata con meno incertezza.
- Linearizzare e dimenticare di trasformare le incertezze: se si mette t² in ascissa, anche la sua incertezza cambia, 2t·σ_t.
Domande frequenti
Che differenza c'è fra fit pesato e non pesato?
Nel fit pesato ogni punto conta in proporzione a 1/σ²: una misura precisa tira la retta più di una imprecisa. Le incertezze sui parametri vengono dalle σ dichiarate. Nel fit non pesato tutti i punti contano uguale e le incertezze si stimano dalla dispersione dei punti. Se tutte le σ sono uguali, le due rette coincidono.
Come si interpreta il χ²?
Si guarda il χ² diviso per i gradi di libertà, cioè il numero di punti meno i parametri stimati. Un valore vicino a 1 dice che i punti si scostano dalla retta quanto ci si aspetta dalle loro incertezze. Molto sopra 1: incertezze sottostimate o legge non lineare. Molto sotto 1: incertezze sovrastimate.
Quando usare la retta per l'origine?
Quando la teoria dice che y è proporzionale a x, come la tensione e la corrente in un resistore o la forza e l'allungamento di una molla. Si stima un solo parametro e la pendenza risulta più precisa. Se però non si è sicuri, conviene fare il fit completo e controllare che l'intercetta sia compatibile con zero.
Come ricavo una grandezza fisica dalla pendenza?
Si scrive la legge in forma lineare e si identifica la pendenza. Per una molla, allungamento = F/k: mettendo la forza sulle x la pendenza è 1/k, quindi k = 1/m e la sua incertezza è σ_m/m². Per trasformazioni più complicate si può usare la calcolatrice di propagazione degli errori con la pendenza e la sua σ.
Posso incollare i dati da un foglio di calcolo?
Sì. Copiando due o tre colonne da Excel o LibreOffice arrivano separate da tabulazioni, che vengono lette direttamente, anche con la virgola decimale. Un file CSV con valori separati da virgole e punto decimale va bene lo stesso.
Come funziona questo calcolo
Con pesi wᵢ = 1/σᵢ² (tutti uguali a 1 se le σ non ci sono) e le somme S = Σw, Sx = Σwx, Sy = Σwy, Sxx = Σwx², Sxy = Σwxy, Δ = S·Sxx − Sx²: pendenza m = (S·Sxy − Sx·Sy)/Δ, intercetta q = (Sxx·Sy − Sx·Sxy)/Δ, σ_m² = S/Δ, σ_q² = Sxx/Δ. Nel fit non pesato le varianze sono moltiplicate per s² = Σ(yᵢ − m·xᵢ − q)²/(n − 2). Retta per l'origine: m = Sxy/Sxx e σ_m² = 1/Sxx, per s² con n − 1 gradi di libertà se non pesato. χ² = Σwᵢ(yᵢ − m·xᵢ − q)². r è il coefficiente di correlazione di Pearson dei dati e R² = r².