Física
Calculadora de propagación de errores
Escribe la fórmula, introduce cada magnitud con su incertidumbre y obtén el resultado ya redondeado como se escribe en un informe, con la contribución de cada medida. O pega una serie de medidas repetidas para obtener su media y su error.
De dónde viene la incertidumbre de un resultado
Toda medida lleva una incertidumbre, y toda magnitud calculada a partir de medidas la hereda. Si mides la longitud L y el periodo T de un péndulo para obtener g = 4π²L/T², la incertidumbre de g depende de las de L y T y de lo sensible que es g a cada una. Esa sensibilidad es la derivada parcial: ∂g/∂T tiene T³ en el denominador, y por eso un pequeño error en el periodo pesa, en porcentaje, el doble que uno igual en la longitud.
Hay dos reglas para combinar las contribuciones. El error máximo las suma en valor absoluto, Δf = Σ|∂f/∂x|·Δx: es el peor caso, en que todos los errores van en la misma dirección, y es el que se enseña primero en secundaria. La suma en cuadratura, σ_f = √Σ(∂f/∂x·σ)², vale para errores aleatorios e independientes, que en parte se compensan: es la de la universidad y los laboratorios. Siempre da un valor menor, y esta página muestra las dos.
Para una serie de medidas repetidas de la misma magnitud, el mejor valor es la media y su incertidumbre es el error de la media, σ/√n: la desviación típica dice cuánto oscila una medida individual, y dividida por √n dice cuán incierta es la media de n medidas. Con pocas medidas se usa a menudo el semirrecorrido, (máx − mín)/2, más tosco pero sin cálculos.
Errores frecuentes
- Sumar las incertidumbres absolutas de magnitudes que se multiplican o dividen: en productos y cocientes se combinan las incertidumbres relativas, que es lo que hacen las derivadas parciales.
- Olvidar el exponente: en T² la incertidumbre relativa de T cuenta dos veces, en √h cuenta la mitad.
- Escribir el resultado con todas las cifras de la calculadora: 9,8107 ± 0,0412 se escribe 9,81 ± 0,04. Las cifras más allá de la incertidumbre no son información.
- Dar la desviación típica como incertidumbre de la media: esa es la dispersión de una medida individual. La incertidumbre de la media es σ/√n, menor cuantas más medidas se hacen.
Preguntas frecuentes
¿Mejor el error máximo o la suma en cuadratura?
Depende de lo que pida el curso. El error máximo es prudente y sencillo, y se usa en secundaria. La suma en cuadratura es la correcta para errores aleatorios e independientes, y es el estándar en la universidad y en la literatura científica. Si los errores no son independientes, por ejemplo porque dos magnitudes se midieron con el mismo instrumento mal calibrado, ninguna de las dos basta por sí sola.
¿Cómo se redondea un resultado con su incertidumbre?
Primero la incertidumbre, a una cifra significativa, o a dos si la primera cifra es 1 (redondear 0,14 a 0,1 cambiaría la incertidumbre casi un tercio). Después el valor, a la misma posición decimal que la incertidumbre. Así 9,8107 ± 0,0412 queda 9,81 ± 0,04 y 9,8107 ± 0,0147 queda 9,811 ± 0,015.
¿Qué es la tabla de contribuciones?
Muestra cuánto pesa cada magnitud en la incertidumbre final: la derivada parcial, su producto por la incertidumbre y su parte de la varianza total. Sirve para ver dónde conviene mejorar la medida: en el péndulo de ejemplo el periodo supone alrededor del 80 %, así que cronometrar diez oscilaciones en lugar de una rinde mucho más que una regla más precisa.
¿Por qué σ/√n y no solo σ?
Porque responden a preguntas distintas. σ es la dispersión de las medidas: cuánto se aleja típicamente una medida de la media. σ/√n es la incertidumbre de la propia media, que se vuelve más precisa a medida que se acumulan medidas. Con 100 medidas la media es diez veces más precisa que una sola medida.
¿Puedo usar constantes en la fórmula?
Sí: π (o pi) y e se reconocen, y los números pueden escribirse en notación científica, por ejemplo 6.67e-11. Una constante medida con su propia incertidumbre, como g, conviene introducirla como variable, para que su incertidumbre entre en el cálculo.
Cómo funciona este cálculo
Para una magnitud f(x₁, …, xₙ) calculada a partir de medidas xᵢ ± σᵢ: el valor es f en los valores medidos; la incertidumbre en cuadratura es σ_f = √Σ(∂f/∂xᵢ·σᵢ)², para errores aleatorios e independientes; el error máximo es Δf = Σ|∂f/∂xᵢ|·σᵢ. Las derivadas parciales se calculan de forma simbólica, y numéricamente con una diferencia centrada cuando no hay forma simbólica. El peso de cada magnitud es (∂f/∂xᵢ·σᵢ)²/σ_f². Para medidas repetidas: media x̄ = Σxᵢ/n, desviación típica muestral s = √(Σ(xᵢ − x̄)²/(n − 1)), error de la media s/√n, semirrecorrido (máx − mín)/2. Redondeo: incertidumbre a una cifra significativa (dos si la primera es 1) y valor a la misma cifra decimal.