Statistica: media, mediana, moda e deviazione standard

Come si leggono questi indici

Le statistiche descrittive riassumono un insieme di dati in poche misure, e si dividono in due famiglie. Gli indici di posizione dicono dove sta il centro: media, mediana e moda. Gli indici di dispersione dicono quanto i valori si allontanano da quel centro: campo di variazione, varianza, deviazione standard e scarto interquartile. Serve entrambe le famiglie, perché due insiemi con la stessa media possono avere forme completamente diverse.

Media e mediana rispondono alla stessa domanda in modi diversi. La media somma tutti i valori e divide per quanti sono, quindi risente dei valori estremi: un singolo stipendio molto alto sposta la media di un ufficio. La mediana è il valore che sta in mezzo una volta ordinati i dati, e non si muove per un solo outlier. Quando media e mediana differiscono molto, la distribuzione è asimmetrica ed è la mediana a descrivere meglio il caso tipico.

La deviazione standard è la radice quadrata della varianza, e ha il pregio di essere espressa nella stessa unità dei dati. Ne esistono due versioni: quella di popolazione divide per n e si usa quando i dati sono l'intera collettività di interesse; quella campionaria divide per n − 1 (correzione di Bessel) e si usa quando i dati sono un campione estratto da una popolazione più ampia. La seconda è leggermente più grande, perché corregge la tendenza del campione a sottostimare la variabilità reale.

Esempio numerico con i dati 12, 15, 15, 18, 21, 24, 24, 24, 30: la somma è 183 e i valori sono 9, quindi la media è 20,33. Ordinati, il valore centrale è il quinto, cioè 21: quella è la mediana. Il 24 compare tre volte ed è la moda. La deviazione standard di popolazione è 5,52, quella campionaria 5,85. Il primo quartile vale 15 e il terzo 24, quindi metà dei dati sta fra questi due valori.

Errori comuni

Usare la deviazione standard campionaria per dati che rappresentano l'intera popolazione, o viceversa: la differenza è trascurabile su grandi numeri, ma sensibile sotto una trentina di osservazioni.
Descrivere con la sola media una distribuzione fortemente asimmetrica, come i redditi: la mediana racconta meglio il caso tipico.
Confondere assenza di moda e moda multipla: se tutti i valori compaiono lo stesso numero di volte non c'è una moda, mentre due valori a pari frequenza massima danno una distribuzione bimodale.
Confrontare le deviazioni standard di grandezze con unità o ordini di grandezza diversi: per quello serve il coefficiente di variazione, che rapporta la dispersione alla media.
Dimenticare che i quartili possono essere calcolati con convenzioni diverse: questa pagina usa l'interpolazione lineare, la stessa dei fogli di calcolo, e altri testi possono restituire valori leggermente diversi.

Domande frequenti

Qual è la differenza fra media, mediana e moda?

La media è la somma dei valori divisa per il loro numero. La mediana è il valore centrale dei dati ordinati, o la media dei due centrali se sono in numero pari. La moda è il valore che compare più spesso. Su una distribuzione simmetrica coincidono quasi; su una asimmetrica si separano.

Devo usare la deviazione standard di popolazione o campionaria?

Se i dati sono l'intera collettività che ti interessa — i voti di tutta la classe — usa quella di popolazione, che divide per n. Se sono un campione da cui vuoi trarre conclusioni su un insieme più ampio, usa quella campionaria, che divide per n − 1.

Che cosa indica il coefficiente di variazione?

È il rapporto fra deviazione standard e media, espresso in percentuale. Serve a confrontare la dispersione di grandezze diverse: una variabilità di 5 su una media di 10 pesa molto più della stessa variabilità su una media di 1.000.

Come si calcolano i quartili?

Q1 lascia sotto di sé un quarto dei dati ordinati, Q3 tre quarti. Questa calcolatrice li ottiene per interpolazione lineare fra i valori adiacenti alla posizione teorica, la stessa convenzione usata dai fogli di calcolo. La differenza Q3 − Q1 è lo scarto interquartile.

In che formato devo inserire i dati?

Come preferisci: separati da spazi, virgole, punti e virgola o a capo. Puoi incollare direttamente una colonna copiata da Excel o da un CSV. La virgola è trattata come separatore fra valori, quindi per i decimali va usato il punto.

Come funziona questo calcolo

Media: x̄ = Σxᵢ / n. Mediana: valore in posizione (n + 1) / 2 sui dati ordinati, interpolato quando la posizione non è intera. Varianza di popolazione: σ² = Σ(xᵢ − x̄)² / n; varianza campionaria: s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1). La deviazione standard è la radice quadrata della rispettiva varianza. I quartili si ottengono in posizione p × (n − 1) con interpolazione lineare fra i valori adiacenti. Coefficiente di variazione = σ / |x̄| × 100.

Propagazione degli errori

Incertezza di una grandezza calcolata da una formula qualsiasi, in quadratura e come errore massimo, e media di misure ripetute con il suo errore.

Regressione lineare

Retta dei minimi quadrati con le incertezze di pendenza e intercetta, pesata se hai le σ, coefficiente di correlazione e χ², con il grafico.

Media dei voti

Media semplice e ponderata, e voto necessario per l'obiettivo.

Probabilità

Probabilità classica, condizionata, Bayes e distribuzione binomiale.