Physik
Rechner für Fehlerfortpflanzung
Gib die Formel ein, trage jede Größe mit ihrer Unsicherheit ein und erhalte das Ergebnis schon so gerundet, wie es ins Protokoll gehört, mit dem Beitrag jeder Messung. Oder füge eine Reihe wiederholter Messungen ein, um Mittelwert und Fehler zu bekommen.
Woher die Unsicherheit eines Ergebnisses kommt
Jede Messung hat eine Unsicherheit, und jede aus Messungen berechnete Größe erbt sie. Misst man Länge L und Periodendauer T eines Pendels, um g = 4π²L/T² zu bestimmen, hängt die Unsicherheit von g von denen von L und T ab und davon, wie empfindlich g auf jede reagiert. Diese Empfindlichkeit ist die partielle Ableitung: In ∂g/∂T steht T³ im Nenner, und deshalb zählt ein kleiner Fehler der Periode prozentual doppelt so viel wie ein gleich großer der Länge.
Für das Zusammenfassen der Beiträge gibt es zwei Regeln. Der Größtfehler addiert sie betragsmäßig, Δf = Σ|∂f/∂x|·Δx: der ungünstigste Fall, in dem alle Fehler in dieselbe Richtung wirken, und der, mit dem die Schule beginnt. Die Gaußsche Fehlerfortpflanzung, σ_f = √Σ(∂f/∂x·σ)², gilt für zufällige, unabhängige Fehler, die sich teilweise ausgleichen: Sie ist der Standard an Hochschulen und in Laboren. Sie liefert immer den kleineren Wert, und diese Seite zeigt beide.
Bei einer Reihe wiederholter Messungen derselben Größe ist der beste Wert der Mittelwert, und seine Unsicherheit ist der Standardfehler σ/√n: Die Standardabweichung sagt, wie stark eine einzelne Messung schwankt, durch √n geteilt sagt sie, wie unsicher der Mittelwert aus n Messungen ist. Bei wenigen Messungen nimmt man oft die halbe Spannweite, (max − min)/2, gröber, aber ohne Rechnung.
Häufige Fehler
- Absolute Unsicherheiten von Größen addieren, die multipliziert oder dividiert werden: Bei Produkten und Quotienten kombinieren sich die relativen Unsicherheiten, und genau das tun die partiellen Ableitungen.
- Den Exponenten vergessen: In T² zählt die relative Unsicherheit von T doppelt, in √h zur Hälfte.
- Das Ergebnis mit allen Stellen des Taschenrechners angeben: 9,8107 ± 0,0412 schreibt man 9,81 ± 0,04. Stellen jenseits der Unsicherheit sind keine Information.
- Die Standardabweichung als Unsicherheit des Mittelwerts angeben: Das ist die Streuung einer Einzelmessung. Die Unsicherheit des Mittelwerts ist σ/√n und wird mit mehr Messungen kleiner.
Häufige Fragen
Größtfehler oder Gaußsche Fehlerfortpflanzung?
Das hängt davon ab, was der Kurs verlangt. Der Größtfehler ist vorsichtig und einfach und wird in der Schule verwendet. Die Gaußsche Fehlerfortpflanzung ist für zufällige, unabhängige Fehler die richtige und Standard an der Hochschule und in der Fachliteratur. Sind die Fehler nicht unabhängig, etwa weil zwei Größen mit demselben falsch kalibrierten Gerät gemessen wurden, reicht keine der beiden allein.
Wie rundet man ein Ergebnis mit seiner Unsicherheit?
Zuerst die Unsicherheit, auf eine signifikante Stelle oder auf zwei, wenn die erste eine 1 ist (0,14 auf 0,1 zu runden, würde die Unsicherheit um fast ein Drittel ändern). Dann den Wert, auf dieselbe Dezimalstelle wie die Unsicherheit. So wird 9,8107 ± 0,0412 zu 9,81 ± 0,04 und 9,8107 ± 0,0147 zu 9,811 ± 0,015.
Was zeigt die Tabelle der Beiträge?
Wie stark jede Größe die Gesamtunsicherheit bestimmt: die partielle Ableitung, ihr Produkt mit der Unsicherheit und ihr Anteil an der Gesamtvarianz. So sieht man, wo sich eine bessere Messung lohnt: Beim Pendel im Beispiel macht die Periode rund 80 % aus, also bringt es weit mehr, zehn Schwingungen statt einer zu stoppen, als ein genaueres Maßband.
Warum σ/√n und nicht einfach σ?
Weil beide verschiedene Fragen beantworten. σ ist die Streuung der Messwerte: wie weit eine einzelne Messung typischerweise vom Mittelwert abweicht. σ/√n ist die Unsicherheit des Mittelwerts selbst, der mit jeder weiteren Messung genauer wird. Mit 100 Messungen ist der Mittelwert zehnmal genauer als eine Einzelmessung.
Kann ich Konstanten in der Formel verwenden?
Ja: π (oder pi) und e werden erkannt, und Zahlen lassen sich in wissenschaftlicher Schreibweise angeben, etwa 6.67e-11. Eine gemessene Konstante mit eigener Unsicherheit, wie g, gibt man besser als Variable ein, damit ihre Unsicherheit in die Rechnung eingeht.
So funktioniert diese Berechnung
Für eine Größe f(x₁, …, xₙ) aus Messungen xᵢ ± σᵢ: Der Wert ist f an den gemessenen Werten; die Unsicherheit nach Gauß ist σ_f = √Σ(∂f/∂xᵢ·σᵢ)², für zufällige und unabhängige Fehler; der Größtfehler ist Δf = Σ|∂f/∂xᵢ|·σᵢ. Die partiellen Ableitungen werden symbolisch berechnet und, wo keine symbolische Form verfügbar ist, numerisch über einen zentralen Differenzenquotienten. Der Anteil jeder Größe ist (∂f/∂xᵢ·σᵢ)²/σ_f². Für wiederholte Messungen: Mittelwert x̄ = Σxᵢ/n, empirische Standardabweichung s = √(Σ(xᵢ − x̄)²/(n − 1)), Standardfehler s/√n, halbe Spannweite (max − min)/2. Rundung: Unsicherheit auf eine signifikante Stelle (zwei, wenn die erste eine 1 ist), Wert auf dieselbe Dezimalstelle.