Fizyka
Kalkulator regresji liniowej
Wklej pary pomiarów x i y, z σ każdego y, jeśli je masz, i otrzymaj prostą najmniejszych kwadratów z niepewnościami współczynnika kierunkowego i wyrazu wolnego, zaokrąglonymi jak w sprawozdaniu, współczynnik korelacji i wykres punktów.
Najlepsza prosta i jej niepewność
Metoda najmniejszych kwadratów wybiera prostą, dla której suma kwadratów pionowych odległości punktów od prostej jest najmniejsza. Wynik ma postać zamkniętą: współczynnik kierunkowy to m = (n·Σxy − Σx·Σy)/(n·Σx² − (Σx)²), a wyraz wolny z niego wynika. W pracowni sama liczba jednak nie wystarcza, bo współczynnik kierunkowy to niemal zawsze szukana wielkość fizyczna: współczynnik sprężystości z siły i wydłużenia, opór z napięcia i natężenia, g z wykresu 2h od t².
Dlatego potrzebne są niepewności. Jeśli każdy pomiar y ma swoje σ, dopasowanie waży się przez 1/σ², a niepewności współczynnika kierunkowego i wyrazu wolnego wynikają wprost ze słupków błędów. χ² mierzy wtedy, jak daleko punkty odbiegają od prostej w jednostkach ich słupków: podzielone przez liczbę stopni swobody powinno wynosić około 1, jeśli prosta i niepewności są zgodne; znacznie więcej oznacza niedoszacowane słupki lub zależność nieliniową; znacznie mniej — przeszacowane.
Bez σ w danych jedyne możliwe oszacowanie pochodzi z rozrzutu punktów wokół prostej, z n − 2 stopniami swobody, bo dwa parametry wyznaczono z tych samych danych. Współczynnik korelacji r mówi, jak dobrze punkty układają się na prostej, ale nie jest niepewnością: r = 0,999 może iść w parze z niepewnością współczynnika kierunkowego rzędu 5 %, jeśli punktów jest mało.
Częste błędy
- Traktowanie r lub R² jako miary jakości wyniku: mówią, jak dane układają się na prostej, a nie jak dokładny jest współczynnik kierunkowy. Do tego służą σ_m i σ_q.
- Wymuszanie prostej przez początek układu, gdy prawo tego nie przewiduje, albo niewymuszanie, gdy przewiduje: wyraz wolny zgodny z zerem w granicach niepewności to sprawdzian, a nie szczegół do usunięcia.
- Zamiana x i y: regresja minimalizuje odległości pionowe, więc na osi x powinna być wielkość zmierzona z mniejszą niepewnością.
- Linearyzacja bez przekształcenia niepewności: jeśli na osi x jest t², jego niepewność też się zmienia i wynosi 2t·σ_t.
Najczęstsze pytania
Czym różni się dopasowanie ważone od nieważonego?
W dopasowaniu ważonym każdy punkt liczy się proporcjonalnie do 1/σ²: dokładny pomiar przyciąga prostą mocniej niż niedokładny, a niepewności parametrów wynikają z podanych σ. W nieważonym wszystkie punkty liczą się tak samo, a niepewności szacuje się z rozrzutu. Jeśli wszystkie σ są równe, obie proste się pokrywają.
Jak interpretować χ²?
Patrzy się na χ² podzielone przez liczbę stopni swobody, czyli liczbę punktów minus dopasowane parametry. Wartość bliska 1 oznacza, że punkty odbiegają od prostej tyle, ile wynika z ich niepewności. Znacznie powyżej 1: niepewności niedoszacowane lub prawo nieliniowe. Znacznie poniżej 1: niepewności przeszacowane.
Kiedy używać prostej przez początek układu?
Gdy teoria mówi, że y jest proporcjonalne do x, jak napięcie i natężenie w oporniku albo siła i wydłużenie sprężyny. Szacuje się jeden parametr, a współczynnik kierunkowy wychodzi dokładniejszy. W razie wątpliwości lepiej zrobić pełne dopasowanie i sprawdzić, czy wyraz wolny jest zgodny z zerem.
Jak otrzymać wielkość fizyczną ze współczynnika kierunkowego?
Zapisuje się prawo w postaci liniowej i rozpoznaje współczynnik kierunkowy. Dla sprężyny wydłużenie = F/k: z siłą na osi x współczynnik kierunkowy to 1/k, więc k = 1/m z niepewnością σ_m/m². Przy bardziej złożonych przekształceniach wprowadź współczynnik i jego σ do kalkulatora propagacji niepewności.
Czy mogę wkleić dane z arkusza kalkulacyjnego?
Tak. Po skopiowaniu dwóch lub trzech kolumn z Excela czy LibreOffice przychodzą one oddzielone tabulatorami i są odczytywane wprost, także z przecinkiem dziesiętnym. Plik CSV z wartościami oddzielonymi przecinkami i kropką dziesiętną też się nada.
Jak działa to obliczenie
Z wagami wᵢ = 1/σᵢ² (wszystkie równe 1, gdy brak σ) i sumami S = Σw, Sx = Σwx, Sy = Σwy, Sxx = Σwx², Sxy = Σwxy, Δ = S·Sxx − Sx²: współczynnik kierunkowy m = (S·Sxy − Sx·Sy)/Δ, wyraz wolny q = (Sxx·Sy − Sx·Sxy)/Δ, σ_m² = S/Δ, σ_q² = Sxx/Δ. W dopasowaniu nieważonym wariancje mnoży się przez s² = Σ(yᵢ − m·xᵢ − q)²/(n − 2). Prosta przez początek układu: m = Sxy/Sxx i σ_m² = 1/Sxx, bez wag razy s² z n − 1 stopniami swobody. χ² = Σwᵢ(yᵢ − m·xᵢ − q)². r to współczynnik korelacji Pearsona danych, a R² = r².