Physique
Calculateur de régression linéaire
Collez les couples de mesures x et y, avec le σ de chaque y si vous l'avez, et obtenez la droite des moindres carrés avec les incertitudes sur la pente et l'ordonnée à l'origine, déjà arrondies comme dans un compte rendu, le coefficient de corrélation et le graphique des points.
La meilleure droite, et son incertitude
La méthode des moindres carrés choisit la droite qui rend minimale la somme des carrés des écarts verticaux entre les points et la droite. Le résultat a une forme fermée : la pente vaut m = (n·Σxy − Σx·Σy)/(n·Σx² − (Σx)²) et l'ordonnée à l'origine s'en déduit. En TP, pourtant, le nombre seul ne suffit pas, car la pente est presque toujours la grandeur physique cherchée : la raideur d'un ressort à partir de la force et de l'allongement, une résistance à partir de la tension et du courant, g à partir d'un graphique de 2h en fonction de t².
D'où l'importance des incertitudes. Si chaque mesure de y a son propre σ, l'ajustement est pondéré par 1/σ² et les incertitudes sur la pente et l'ordonnée découlent directement des barres d'erreur. χ² mesure alors l'écart des points à la droite en unités de leurs barres : divisé par le nombre de degrés de liberté, il doit valoir environ 1 si droite et incertitudes sont cohérentes ; bien plus grand, les barres sont sous-estimées ou la relation n'est pas linéaire ; bien plus petit, elles sont surestimées.
Sans σ sur les données, la seule estimation possible vient de la dispersion des points autour de la droite, avec n − 2 degrés de liberté puisque deux paramètres ont été tirés des mêmes données. Le coefficient de corrélation r dit à quel point les points sont alignés, mais ce n'est pas une incertitude : un r de 0,999 peut coexister avec une pente incertaine à 5 % s'il y a peu de points.
Erreurs fréquentes
- Prendre r ou R² comme mesure de la qualité du résultat : ils disent à quel point les données sont alignées, pas la précision de la pente. C'est le rôle de σ_m et σ_q.
- Forcer la droite par l'origine quand la loi ne le prévoit pas, ou ne pas la forcer quand elle le prévoit : une ordonnée compatible avec zéro dans son incertitude est la vérification, pas un détail à supprimer.
- Inverser x et y : la régression minimise des écarts verticaux, donc l'axe des x porte la grandeur mesurée avec le moins d'incertitude.
- Linéariser en oubliant de transformer les incertitudes : si t² est en abscisse, son incertitude change aussi et vaut 2t·σ_t.
Questions fréquentes
Quelle différence entre ajustement pondéré et non pondéré ?
Dans l'ajustement pondéré, chaque point compte en proportion de 1/σ² : une mesure précise tire davantage la droite qu'une mesure imprécise, et les incertitudes sur les paramètres découlent des σ indiqués. Dans l'ajustement non pondéré, tous les points comptent autant et les incertitudes sont estimées à partir de la dispersion. Si tous les σ sont égaux, les deux droites coïncident.
Comment interpréter χ² ?
On regarde χ² divisé par le nombre de degrés de liberté, c'est-à-dire le nombre de points moins les paramètres ajustés. Une valeur proche de 1 signifie que les points s'écartent de la droite autant que le laissent attendre leurs incertitudes. Nettement au-dessus de 1 : incertitudes sous-estimées ou loi non linéaire. Nettement en dessous : incertitudes surestimées.
Quand utiliser la droite passant par l'origine ?
Quand la théorie dit que y est proportionnel à x, comme la tension et le courant dans une résistance ou la force et l'allongement d'un ressort. Un seul paramètre est estimé et la pente est plus précise. En cas de doute, faites l'ajustement complet et vérifiez que l'ordonnée à l'origine est compatible avec zéro.
Comment obtenir une grandeur physique à partir de la pente ?
On écrit la loi sous forme linéaire et on identifie la pente. Pour un ressort, allongement = F/k : avec la force en abscisse, la pente vaut 1/k, donc k = 1/m avec une incertitude σ_m/m². Pour des transformations plus complexes, entrez la pente et son σ dans le calculateur de propagation des incertitudes.
Puis-je coller des données depuis un tableur ?
Oui. En copiant deux ou trois colonnes depuis Excel ou LibreOffice, elles arrivent séparées par des tabulations, lues directement, virgule décimale comprise. Un fichier CSV avec valeurs séparées par des virgules et point décimal convient aussi.
Comment fonctionne ce calcul
Avec des poids wᵢ = 1/σᵢ² (tous égaux à 1 sans σ) et les sommes S = Σw, Sx = Σwx, Sy = Σwy, Sxx = Σwx², Sxy = Σwxy, Δ = S·Sxx − Sx² : pente m = (S·Sxy − Sx·Sy)/Δ, ordonnée à l'origine q = (Sxx·Sy − Sx·Sxy)/Δ, σ_m² = S/Δ, σ_q² = Sxx/Δ. Sans pondération, les variances sont multipliées par s² = Σ(yᵢ − m·xᵢ − q)²/(n − 2). Droite passant par l'origine : m = Sxy/Sxx et σ_m² = 1/Sxx, multiplié par s² avec n − 1 degrés de liberté sans pondération. χ² = Σwᵢ(yᵢ − m·xᵢ − q)². r est le coefficient de corrélation de Pearson des données et R² = r².