Física
Calculadora de regresión lineal
Pega los pares de medidas x e y, con la σ de cada y si la tienes, y obtén la recta de mínimos cuadrados con las incertidumbres de pendiente y ordenada, ya redondeadas como en un informe, el coeficiente de correlación y la gráfica con los puntos.
La mejor recta, y cuán incierta es
El método de mínimos cuadrados elige la recta que hace mínima la suma de los cuadrados de las distancias verticales entre los puntos y la recta. El resultado tiene forma cerrada: la pendiente es m = (n·Σxy − Σx·Σy)/(n·Σx² − (Σx)²) y la ordenada se obtiene a continuación. En el laboratorio, sin embargo, el número solo no basta, porque la pendiente es casi siempre la magnitud física buscada: la constante elástica a partir de fuerza y alargamiento, una resistencia a partir de tensión y corriente, g a partir de una gráfica de 2h frente a t².
Por eso hacen falta las incertidumbres. Si cada medida de y tiene su σ, el ajuste se pondera con 1/σ² y las incertidumbres de pendiente y ordenada salen directamente de las barras de error. χ² mide entonces cuánto se apartan los puntos de la recta en unidades de sus barras: dividido por los grados de libertad debería valer en torno a 1 si recta e incertidumbres son coherentes; mucho mayor significa barras subestimadas o una relación no lineal; mucho menor, barras sobrestimadas.
Sin σ en los datos, la única estimación posible viene de la dispersión de los puntos respecto a la recta, con n − 2 grados de libertad porque dos parámetros se han obtenido de los mismos datos. El coeficiente de correlación r dice cuán alineados están los puntos, pero no es una incertidumbre: un r de 0,999 puede convivir con una pendiente incierta en un 5 % si hay pocos puntos.
Errores frecuentes
- Usar r o R² como medida de la calidad del resultado: dicen cuán alineados están los datos, no cuán precisa es la pendiente. Para eso están σ_m y σ_q.
- Forzar la recta por el origen cuando la ley no lo prevé, o no forzarla cuando lo prevé: una ordenada compatible con cero dentro de su incertidumbre es la comprobación, no un detalle que eliminar.
- Intercambiar x e y: la regresión minimiza distancias verticales, así que en el eje x va la magnitud medida con menos incertidumbre.
- Linealizar y olvidar transformar las incertidumbres: si t² va en el eje x, su incertidumbre también cambia, 2t·σ_t.
Preguntas frecuentes
¿Qué diferencia hay entre ajuste ponderado y no ponderado?
En el ajuste ponderado cada punto cuenta en proporción a 1/σ²: una medida precisa tira más de la recta que una imprecisa, y las incertidumbres de los parámetros salen de las σ indicadas. En el no ponderado todos los puntos cuentan igual y las incertidumbres se estiman de la dispersión. Si todas las σ son iguales, las dos rectas coinciden.
¿Cómo se interpreta χ²?
Se mira χ² dividido por los grados de libertad, es decir, el número de puntos menos los parámetros ajustados. Un valor cercano a 1 indica que los puntos se apartan de la recta tanto como cabe esperar por sus incertidumbres. Muy por encima de 1: incertidumbres subestimadas o ley no lineal. Muy por debajo: incertidumbres sobrestimadas.
¿Cuándo usar la recta por el origen?
Cuando la teoría dice que y es proporcional a x, como la tensión y la corriente en una resistencia o la fuerza y el alargamiento de un resorte. Se estima un solo parámetro y la pendiente resulta más precisa. Si hay dudas, conviene hacer el ajuste completo y comprobar que la ordenada es compatible con cero.
¿Cómo obtengo una magnitud física de la pendiente?
Se escribe la ley en forma lineal y se identifica la pendiente. Para un resorte, alargamiento = F/k: con la fuerza en el eje x la pendiente es 1/k, así que k = 1/m y su incertidumbre es σ_m/m². Para transformaciones más complicadas, lleva la pendiente y su σ a la calculadora de propagación de errores.
¿Puedo pegar datos desde una hoja de cálculo?
Sí. Al copiar dos o tres columnas de Excel o LibreOffice llegan separadas por tabuladores, que se leen directamente, también con coma decimal. Un archivo CSV con valores separados por comas y punto decimal también sirve.
Cómo funciona este cálculo
Con pesos wᵢ = 1/σᵢ² (todos iguales a 1 si no hay σ) y las sumas S = Σw, Sx = Σwx, Sy = Σwy, Sxx = Σwx², Sxy = Σwxy, Δ = S·Sxx − Sx²: pendiente m = (S·Sxy − Sx·Sy)/Δ, ordenada q = (Sxx·Sy − Sx·Sxy)/Δ, σ_m² = S/Δ, σ_q² = Sxx/Δ. En el ajuste no ponderado las varianzas se multiplican por s² = Σ(yᵢ − m·xᵢ − q)²/(n − 2). Recta por el origen: m = Sxy/Sxx y σ_m² = 1/Sxx, por s² con n − 1 grados de libertad si no es ponderado. χ² = Σwᵢ(yᵢ − m·xᵢ − q)². r es el coeficiente de correlación de Pearson de los datos y R² = r².