Physik
Rechner für lineare Regression
Füge die Messwertpaare x und y ein, mit dem σ jedes y-Werts, falls vorhanden, und erhalte die Ausgleichsgerade mit den Unsicherheiten von Steigung und Achsenabschnitt, schon wie im Protokoll gerundet, dazu den Korrelationskoeffizienten und das Diagramm der Punkte.
Die beste Gerade, und wie unsicher sie ist
Die Methode der kleinsten Quadrate wählt die Gerade, bei der die Summe der quadrierten senkrechten Abstände zwischen Punkten und Gerade minimal ist. Das Ergebnis hat eine geschlossene Form: Die Steigung ist m = (n·Σxy − Σx·Σy)/(n·Σx² − (Σx)²), der Achsenabschnitt folgt daraus. Im Praktikum reicht die Zahl allein aber nicht, denn die Steigung ist fast immer die gesuchte physikalische Größe: die Federkonstante aus Kraft und Dehnung, ein Widerstand aus Spannung und Strom, g aus einem Diagramm von 2h gegen t².
Deshalb braucht es die Unsicherheiten. Hat jede Messung von y ihr eigenes σ, wird der Fit mit 1/σ² gewichtet, und die Unsicherheiten von Steigung und Achsenabschnitt ergeben sich direkt aus den Fehlerbalken. χ² misst dann, wie weit die Punkte in Einheiten ihrer Balken von der Gerade abweichen: Pro Freiheitsgrad sollte es etwa 1 sein, wenn Gerade und Unsicherheiten zusammenpassen; deutlich größer heißt, die Balken sind unterschätzt oder der Zusammenhang ist nicht linear; deutlich kleiner, sie sind überschätzt.
Ohne σ an den Daten kommt die einzige mögliche Schätzung aus der Streuung der Punkte um die Gerade, mit n − 2 Freiheitsgraden, weil zwei Parameter aus denselben Daten gewonnen wurden. Der Korrelationskoeffizient r sagt, wie gut die Punkte auf einer Linie liegen, ist aber keine Unsicherheit: Ein r von 0,999 kann bei wenigen Punkten mit einer um 5 % unsicheren Steigung zusammengehen.
Häufige Fehler
- r oder R² als Maß für die Güte des Ergebnisses nehmen: Sie sagen, wie gut die Daten auf einer Linie liegen, nicht wie genau die Steigung ist. Dafür sind σ_m und σ_q da.
- Die Gerade durch den Ursprung zwingen, wenn das Gesetz es nicht vorsieht, oder es nicht tun, wenn doch: Ein Achsenabschnitt, der im Rahmen seiner Unsicherheit mit null verträglich ist, ist die Prüfung, kein Detail zum Wegstreichen.
- x und y vertauschen: Die Regression minimiert senkrechte Abstände, auf die x-Achse gehört also die Größe mit der kleineren Unsicherheit.
- Linearisieren und vergessen, die Unsicherheiten mitzutransformieren: Steht t² auf der x-Achse, ändert sich auch seine Unsicherheit, zu 2t·σ_t.
Häufige Fragen
Was ist der Unterschied zwischen gewichtetem und ungewichtetem Fit?
Beim gewichteten Fit zählt jeder Punkt proportional zu 1/σ²: Eine genaue Messung zieht die Gerade stärker an als eine ungenaue, und die Unsicherheiten der Parameter kommen aus den angegebenen σ. Beim ungewichteten Fit zählen alle Punkte gleich, und die Unsicherheiten werden aus der Streuung geschätzt. Sind alle σ gleich, fallen beide Geraden zusammen.
Wie liest man χ²?
Man betrachtet χ² geteilt durch die Freiheitsgrade, also die Zahl der Punkte minus die angepassten Parameter. Ein Wert nahe 1 heißt, dass die Punkte so weit von der Gerade abweichen, wie ihre Unsicherheiten erwarten lassen. Deutlich über 1: Unsicherheiten unterschätzt oder nichtlinearer Zusammenhang. Deutlich unter 1: Unsicherheiten überschätzt.
Wann nimmt man die Ursprungsgerade?
Wenn die Theorie sagt, dass y proportional zu x ist, wie Spannung und Strom an einem Widerstand oder Kraft und Dehnung einer Feder. Es wird nur ein Parameter geschätzt, und die Steigung wird genauer. Im Zweifel macht man den vollen Fit und prüft, ob der Achsenabschnitt mit null verträglich ist.
Wie erhalte ich eine physikalische Größe aus der Steigung?
Man schreibt das Gesetz in linearer Form und identifiziert die Steigung. Bei einer Feder ist Dehnung = F/D: Mit der Kraft auf der x-Achse ist die Steigung 1/D, also D = 1/m mit der Unsicherheit σ_m/m². Für kompliziertere Umformungen gibt man Steigung und σ in den Rechner für Fehlerfortpflanzung ein.
Kann ich Daten aus einer Tabellenkalkulation einfügen?
Ja. Kopiert man zwei oder drei Spalten aus Excel oder LibreOffice, kommen sie durch Tabulatoren getrennt an und werden direkt gelesen, auch mit Dezimalkomma. Eine CSV-Datei mit kommagetrennten Werten und Dezimalpunkt geht ebenfalls.
So funktioniert diese Berechnung
Mit Gewichten wᵢ = 1/σᵢ² (alle gleich 1, wenn keine σ angegeben sind) und den Summen S = Σw, Sx = Σwx, Sy = Σwy, Sxx = Σwx², Sxy = Σwxy, Δ = S·Sxx − Sx²: Steigung m = (S·Sxy − Sx·Sy)/Δ, Achsenabschnitt q = (Sxx·Sy − Sx·Sxy)/Δ, σ_m² = S/Δ, σ_q² = Sxx/Δ. Beim ungewichteten Fit werden die Varianzen mit s² = Σ(yᵢ − m·xᵢ − q)²/(n − 2) multipliziert. Ursprungsgerade: m = Sxy/Sxx und σ_m² = 1/Sxx, ungewichtet mal s² mit n − 1 Freiheitsgraden. χ² = Σwᵢ(yᵢ − m·xᵢ − q)². r ist der Pearson-Korrelationskoeffizient der Daten und R² = r².