Física
Calculadora de regressão linear
Cole os pares de medidas x e y, com o σ de cada y se você o tiver, e obtenha a reta dos mínimos quadrados com as incertezas dos coeficientes angular e linear, já arredondadas como em um relatório, o coeficiente de correlação e o gráfico com os pontos.
A melhor reta, e quão incerta ela é
O método dos mínimos quadrados escolhe a reta que torna mínima a soma dos quadrados das distâncias verticais entre os pontos e a reta. O resultado tem forma fechada: o coeficiente angular é m = (n·Σxy − Σx·Σy)/(n·Σx² − (Σx)²) e o linear sai em seguida. No laboratório, porém, o número sozinho não basta, porque o coeficiente angular é quase sempre a grandeza física procurada: a constante elástica a partir de força e alongamento, uma resistência a partir de tensão e corrente, g a partir de um gráfico de 2h em função de t².
É por isso que as incertezas são necessárias. Se cada medida de y tem o seu σ, o ajuste é ponderado por 1/σ² e as incertezas dos coeficientes vêm diretamente das barras de erro. O χ² mede então quanto os pontos se afastam da reta em unidades das suas barras: dividido pelos graus de liberdade, deve ficar em torno de 1 se reta e incertezas são coerentes; muito maior significa barras subestimadas ou relação não linear; muito menor, barras superestimadas.
Sem σ nos dados, a única estimativa possível vem da dispersão dos pontos em torno da reta, com n − 2 graus de liberdade, porque dois parâmetros foram tirados dos mesmos dados. O coeficiente de correlação r diz quão alinhados estão os pontos, mas não é uma incerteza: um r de 0,999 pode conviver com um coeficiente angular incerto em 5% se houver poucos pontos.
Erros frequentes
- Usar r ou R² como medida da qualidade do resultado: dizem quão alinhados estão os dados, não quão preciso é o coeficiente angular. Para isso servem σ_m e σ_q.
- Forçar a reta pela origem quando a lei não prevê isso, ou não forçar quando prevê: um coeficiente linear compatível com zero dentro da incerteza é a verificação, não um detalhe a eliminar.
- Trocar x e y: a regressão minimiza distâncias verticais, então no eixo x vai a grandeza medida com menos incerteza.
- Linearizar e esquecer de transformar as incertezas: se t² vai no eixo x, a sua incerteza também muda e vale 2t·σ_t.
Perguntas frequentes
Qual a diferença entre ajuste ponderado e não ponderado?
No ajuste ponderado cada ponto conta em proporção a 1/σ²: uma medida precisa puxa a reta mais do que uma imprecisa, e as incertezas dos parâmetros vêm dos σ informados. No não ponderado todos os pontos contam igual e as incertezas são estimadas pela dispersão. Se todos os σ forem iguais, as duas retas coincidem.
Como se interpreta o χ²?
Olha-se o χ² dividido pelos graus de liberdade, isto é, o número de pontos menos os parâmetros ajustados. Um valor perto de 1 indica que os pontos se afastam da reta tanto quanto suas incertezas fazem esperar. Bem acima de 1: incertezas subestimadas ou lei não linear. Bem abaixo: incertezas superestimadas.
Quando usar a reta pela origem?
Quando a teoria diz que y é proporcional a x, como tensão e corrente em um resistor ou força e alongamento de uma mola. Estima-se um único parâmetro e o coeficiente angular sai mais preciso. Na dúvida, faça o ajuste completo e confira se o coeficiente linear é compatível com zero.
Como obtenho uma grandeza física do coeficiente angular?
Escreve-se a lei na forma linear e identifica-se o coeficiente angular. Para uma mola, alongamento = F/k: com a força no eixo x o coeficiente angular é 1/k, então k = 1/m, com incerteza σ_m/m². Para transformações mais complicadas, leve o coeficiente e o seu σ para a calculadora de propagação de erros.
Posso colar dados de uma planilha?
Sim. Copiando duas ou três colunas do Excel ou do LibreOffice elas chegam separadas por tabulações, que são lidas diretamente, também com vírgula decimal. Um arquivo CSV com valores separados por vírgulas e ponto decimal também serve.
Como funciona este cálculo
Com pesos wᵢ = 1/σᵢ² (todos iguais a 1 se não houver σ) e as somas S = Σw, Sx = Σwx, Sy = Σwy, Sxx = Σwx², Sxy = Σwxy, Δ = S·Sxx − Sx²: coeficiente angular m = (S·Sxy − Sx·Sy)/Δ, coeficiente linear q = (Sxx·Sy − Sx·Sxy)/Δ, σ_m² = S/Δ, σ_q² = Sxx/Δ. No ajuste não ponderado as variâncias são multiplicadas por s² = Σ(yᵢ − m·xᵢ − q)²/(n − 2). Reta pela origem: m = Sxy/Sxx e σ_m² = 1/Sxx, vezes s² com n − 1 graus de liberdade quando não ponderado. χ² = Σwᵢ(yᵢ − m·xᵢ − q)². r é o coeficiente de correlação de Pearson dos dados e R² = r².