Fisica
Calcolatrice del teorema di Gauss: flusso, carica e campi simmetrici
Scegli la relazione e cancella la grandezza incognita. Oltre al teorema trovi i tre campi che Gauss risolve in una riga: filo indefinito, piano indefinito e sfera carica, dentro e fuori.
Quando Gauss conviene e quando è solo una scorciatoia elegante
Il teorema di Gauss dice che il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa vale Q₀/ε₀, dove Q₀ è la sola carica racchiusa. È sempre vero, per qualunque superficie e qualunque distribuzione: non è un'approssimazione né un caso particolare. Ma sempre vero non significa sempre utile, ed è esattamente lì che si concentrano gli errori d'esame.
Il teorema diventa uno strumento di calcolo solo quando la simmetria permette di portare E fuori dall'integrale. Serve una superficie su cui il campo abbia modulo costante e direzione nota rispetto alla normale: una sfera concentrica per una distribuzione sferica, un cilindro coassiale per un filo, una scatola a cavallo del piano. Senza quella simmetria il teorema resta valido ma non risolve nulla, perché l'incognita rimane dentro l'integrale.
Le tre geometrie classiche danno tre andamenti diversi, e conviene tenerli in mente come un'unica immagine: la carica puntiforme e la sfera vanno come 1/r², il filo come 1/r, il piano non dipende da r. La ragione è puramente geometrica: l'area della superficie gaussiana cresce come r², come r, oppure resta costante. Riconoscere quale dei tre casi si sta guardando è metà del lavoro.
Errori frequenti
- Includere nel calcolo le cariche esterne alla superficie: contribuiscono al campo in ogni punto, ma il loro flusso netto attraverso una superficie chiusa è zero. Nel teorema entra solo la carica racchiusa.
- Usare la formula del campo interno per un punto fuori dalla sfera, o viceversa: dentro il campo cresce con r, fuori decresce come 1/r². I due si raccordano solo sulla superficie.
- Confondere il campo di un piano singolo, σ/2ε₀, con quello fra due armature opposte, σ/ε₀. Il fattore due viene dal fatto che nel condensatore i campi delle due lastre si sommano.
- Attribuire una carica totale al filo indefinito: per una lunghezza infinita ha senso solo la densità lineare. Se l'esercizio dà una carica, dà anche la lunghezza su cui è distribuita.
Domande frequenti
Che cosa afferma il teorema di Gauss?
Che il flusso del campo elettrico attraverso una qualunque superficie chiusa è uguale alla carica racchiusa divisa per ε₀. Non dipende dalla forma della superficie, né da dove si trovino le cariche al suo interno, né dalle cariche esterne.
Quando conviene usare Gauss invece della legge di Coulomb?
Quando la distribuzione ha simmetria sferica, cilindrica o piana. In quei casi si sceglie una superficie su cui il campo è costante in modulo e perpendicolare, e l'integrale si riduce al prodotto E·A. Senza simmetria il teorema resta vero, ma conviene integrare direttamente la legge di Coulomb.
Perché il campo di un piano indefinito non dipende dalla distanza?
Perché allontanandosi si vedono contributi da una porzione di piano sempre più estesa, e l'aumento dell'area compensa esattamente l'indebolimento del contributo di ciascun elemento. Vale finché la distanza resta piccola rispetto alle dimensioni del piano reale.
Quanto vale il campo dentro una sfera conduttrice carica?
Zero. In un conduttore all'equilibrio le cariche stanno tutte sulla superficie, quindi una superficie gaussiana interna non racchiude carica. Il caso trattato qui, con campo che cresce linearmente con r, è quello di una sfera isolante con carica distribuita uniformemente nel volume.
Qual è l'unità di misura del flusso elettrico?
Newton per metro quadro su coulomb (N·m²/C), equivalente a volt per metro (V·m). Si ottiene moltiplicando un campo in N/C per un'area in m².
Come funziona questo calcolo
Flusso attraverso una superficie piana: Φ = E·A·cos θ, con θ angolo fra il campo e la normale alla superficie. Teorema di Gauss: Φ = Q₀/ε₀ attraverso qualunque superficie chiusa, con ε₀ = 8,854 × 10⁻¹² F/m. Filo rettilineo indefinito di densità λ: E = λ/(2πε₀r), radiale. Piano indefinito di densità σ: E = σ/(2ε₀), uniforme e perpendicolare al piano. Fra due armature piane con cariche opposte: E = σ/ε₀. Sfera di carica Q, punto esterno a distanza r: E = kQ/r² con k = 1/(4πε₀). Sfera isolante uniforme di raggio R, punto interno a distanza r ≤ R: E = kQr/R³, che sulla superficie si raccorda con kQ/R².