Fizyka
Kalkulator prawa Gaussa: strumień, ładunek i pola symetryczne
Wybierz zależność i wyczyść szukaną wielkość. Oprócz samego prawa znajdziesz tu trzy pola, które Gauss załatwia jedną linią: nieskończoną nić, nieskończoną płaszczyznę i naładowaną kulę — od środka i z zewnątrz.
Kiedy Gauss się opłaca, a kiedy jest tylko eleganckim skrótem
Prawo Gaussa mówi, że strumień pola elektrycznego przez powierzchnię zamkniętą wynosi Q₀/ε₀, gdzie Q₀ to wyłącznie ładunek zamknięty. Jest prawdziwe zawsze, dla dowolnej powierzchni i dowolnego rozkładu: to ani przybliżenie, ani przypadek szczególny. Ale zawsze prawdziwe nie znaczy zawsze użyteczne i właśnie w tej luce gromadzą się błędy egzaminacyjne.
Narzędziem rachunkowym prawo staje się dopiero wtedy, gdy symetria pozwala wyjąć E spod całki. Potrzebna jest powierzchnia, na której pole ma stałą wartość i znany kierunek względem normalnej: koncentryczna sfera dla rozkładu sferycznego, współosiowy walec dla nici, pudełko w poprzek płaszczyzny. Bez tej symetrii prawo pozostaje prawdziwe, lecz niczego nie rozwiązuje, bo niewiadoma zostaje pod całką.
Trzy klasyczne geometrie dają trzy różne zaniki i warto trzymać je w głowie jako jeden obraz: ładunek punktowy i kula idą jak 1/r², nić jak 1/r, płaszczyzna wcale. Powód jest czysto geometryczny — pole powierzchni Gaussa rośnie jak r², jak r, albo pozostaje stałe. Rozpoznanie, który z trzech przypadków się ogląda, to połowa pracy.
Częste błędy
- Wliczanie ładunków leżących poza powierzchnią: owszem, wnoszą wkład do pola w każdym punkcie, ale ich wypadkowy strumień przez powierzchnię zamkniętą wynosi zero. Do prawa wchodzi tylko ładunek zamknięty.
- Użycie wzoru na pole wewnątrz dla punktu poza kulą albo odwrotnie: wewnątrz pole rośnie z r, na zewnątrz maleje jak 1/r². Oba zgadzają się wyłącznie na powierzchni.
- Mylenie pola pojedynczej płaszczyzny, σ/2ε₀, z polem między dwiema przeciwnymi okładkami, σ/ε₀. Czynnik dwa bierze się stąd, że w kondensatorze pola obu płyt się dodają.
- Przypisywanie nieskończonej nici ładunku całkowitego: przy nieskończonej długości sens ma jedynie gęstość liniowa. Jeśli zadanie podaje ładunek, podaje też długość, na której jest rozłożony.
Często zadawane pytania
Co mówi prawo Gaussa?
Że strumień pola elektrycznego przez dowolną powierzchnię zamkniętą równa się ładunkowi zamkniętemu podzielonemu przez ε₀. Nie zależy ani od kształtu powierzchni, ani od położenia ładunków w jej wnętrzu, ani od ładunków na zewnątrz.
Kiedy lepiej użyć Gaussa niż prawa Coulomba?
Gdy rozkład ma symetrię sferyczną, cylindryczną albo płaską. Można wtedy wybrać powierzchnię, na której pole jest stałe co do wartości i prostopadłe, a całka sprowadza się do iloczynu E·A. Bez symetrii prawo pozostaje prawdziwe, ale prościej jest całkować wprost prawo Coulomba.
Dlaczego pole nieskończonej płaszczyzny nie zależy od odległości?
Bo oddalając się, widzi się wkłady od coraz większego kawałka płaszczyzny, a przyrost powierzchni dokładnie równoważy osłabienie każdego pojedynczego wkładu. Obowiązuje, dopóki odległość pozostaje mała wobec rzeczywistych rozmiarów płaszczyzny.
Ile wynosi pole wewnątrz naładowanej kuli przewodzącej?
Zero. W przewodniku w równowadze cały ładunek leży na powierzchni, więc powierzchnia Gaussa poprowadzona wewnątrz nie obejmuje żadnego ładunku. Omawiany tu przypadek, z polem rosnącym liniowo z r, dotyczy kuli izolacyjnej z ładunkiem rozłożonym równomiernie w objętości.
W jakiej jednostce mierzy się strumień elektryczny?
W niutonometrach kwadratowych na kulomb (N·m²/C), równoważnie w woltometrach (V·m). Otrzymuje się ją, mnożąc pole w N/C przez powierzchnię w m².
Jak działa to obliczenie
Strumień przez płaską powierzchnię: Φ = E·A·cos θ, gdzie θ to kąt między polem a normalną do powierzchni. Prawo Gaussa: Φ = Q₀/ε₀ przez dowolną powierzchnię zamkniętą, z ε₀ = 8,854 × 10⁻¹² F/m. Nieskończona prosta nić o gęstości λ: E = λ/(2πε₀r), skierowane promieniście. Nieskończona płaszczyzna o gęstości σ: E = σ/(2ε₀), jednorodne i prostopadłe do płaszczyzny. Między dwiema okładkami o przeciwnych ładunkach: E = σ/ε₀. Kula o ładunku Q, punkt na zewnątrz w odległości r: E = kQ/r² z k = 1/(4πε₀). Jednorodna kula izolacyjna o promieniu R, punkt wewnątrz przy r ≤ R: E = kQr/R³, co na powierzchni łączy się z kQ/R².