Physik
Rechner zum Satz von Gauss: Fluss, Ladung und symmetrische Felder
Wähle die Beziehung und lösche die gesuchte Größe. Neben dem Satz selbst findest du die drei Felder, die Gauss in einer Zeile erledigt: unendlicher Draht, unendliche Ebene und geladene Kugel, von innen wie von außen.
Wann sich Gauss lohnt und wann er nur eine elegante Abkürzung ist
Der Satz von Gauss besagt, dass der Fluss des elektrischen Feldes durch eine geschlossene Fläche Q₀/ε₀ beträgt, wobei Q₀ allein die eingeschlossene Ladung ist. Er gilt immer, für jede Fläche und jede Verteilung: weder Näherung noch Sonderfall. Doch immer gültig heißt nicht immer nützlich, und genau in dieser Lücke sammeln sich die Prüfungsfehler.
Zum Rechenwerkzeug wird der Satz erst, wenn die Symmetrie erlaubt, E aus dem Integral zu ziehen. Dafür braucht es eine Fläche, auf der das Feld konstanten Betrag und eine bekannte Richtung zur Normalen hat: eine konzentrische Kugel bei kugelsymmetrischer Verteilung, ein koaxialer Zylinder beim Draht, eine Schachtel quer zur Ebene. Ohne diese Symmetrie bleibt der Satz wahr, löst aber nichts, weil die Unbekannte im Integral stecken bleibt.
Die drei klassischen Geometrien liefern drei verschiedene Abfälle, und es lohnt sich, sie als ein einziges Bild im Kopf zu behalten: Punktladung und Kugel gehen wie 1/r², der Draht wie 1/r, die Ebene gar nicht. Der Grund ist rein geometrisch – die Fläche der Gauss-Fläche wächst wie r², wie r, oder bleibt konstant. Zu erkennen, welcher der drei Fälle vorliegt, ist die halbe Arbeit.
Häufige Fehler
- Ladungen außerhalb der Fläche mitzählen: sie tragen zwar in jedem Punkt zum Feld bei, ihr Nettofluss durch eine geschlossene Fläche ist aber null. In den Satz geht nur die eingeschlossene Ladung ein.
- Die Innenformel für einen Punkt außerhalb der Kugel verwenden oder umgekehrt: innen wächst das Feld mit r, außen fällt es wie 1/r². Beide stimmen nur an der Oberfläche überein.
- Das Feld einer einzelnen Ebene, σ/2ε₀, mit dem zwischen zwei entgegengesetzten Platten, σ/ε₀, verwechseln. Der Faktor zwei kommt daher, dass sich im Kondensator die Felder beider Platten addieren.
- Dem unendlichen Draht eine Gesamtladung zuschreiben: bei unendlicher Länge ist nur die Linienladungsdichte sinnvoll. Nennt die Aufgabe eine Ladung, nennt sie auch die Länge, auf die sie verteilt ist.
Häufige Fragen
Was besagt der Satz von Gauss?
Dass der Fluss des elektrischen Feldes durch eine beliebige geschlossene Fläche gleich der eingeschlossenen Ladung geteilt durch ε₀ ist. Er hängt weder von der Form der Fläche noch von der Lage der Ladungen darin noch von Ladungen außerhalb ab.
Wann nimmt man Gauss statt des Coulombschen Gesetzes?
Wenn die Verteilung kugel-, zylinder- oder ebenensymmetrisch ist. Dann lässt sich eine Fläche wählen, auf der das Feld betragsmäßig konstant und senkrecht steht, und das Integral schrumpft auf E·A. Ohne Symmetrie bleibt der Satz richtig, doch das direkte Integrieren des Coulombschen Gesetzes ist einfacher.
Warum hängt das Feld einer unendlichen Ebene nicht vom Abstand ab?
Weil man mit wachsendem Abstand Beiträge von einem immer größeren Stück der Ebene sieht und die Zunahme der Fläche die Abschwächung jedes einzelnen Beitrags genau ausgleicht. Das gilt, solange der Abstand klein gegen die wirkliche Ausdehnung der Ebene bleibt.
Wie groß ist das Feld in einer geladenen leitenden Kugel?
Null. In einem Leiter im Gleichgewicht sitzt die gesamte Ladung an der Oberfläche, eine innen gelegte Gauss-Fläche schließt also keine Ladung ein. Der hier behandelte Fall mit linear in r wachsendem Feld ist eine isolierende Kugel mit gleichmäßig im Volumen verteilter Ladung.
In welcher Einheit misst man den elektrischen Fluss?
In Newton mal Quadratmeter pro Coulomb (N·m²/C), gleichbedeutend mit Volt mal Meter (V·m). Man erhält sie, indem man ein Feld in N/C mit einer Fläche in m² multipliziert.
Wie diese Berechnung funktioniert
Fluss durch eine ebene Fläche: Φ = E·A·cos θ, mit θ als Winkel zwischen Feld und Flächennormale. Satz von Gauss: Φ = Q₀/ε₀ durch jede geschlossene Fläche, mit ε₀ = 8,854 × 10⁻¹² F/m. Unendlich langer Draht der Dichte λ: E = λ/(2πε₀r), radial gerichtet. Unendliche Ebene der Dichte σ: E = σ/(2ε₀), homogen und senkrecht zur Ebene. Zwischen zwei entgegengesetzt geladenen Platten: E = σ/ε₀. Kugel der Ladung Q, Punkt außen im Abstand r: E = kQ/r² mit k = 1/(4πε₀). Homogene isolierende Kugel mit Radius R, Punkt innen bei r ≤ R: E = kQr/R³, was an der Oberfläche in kQ/R² übergeht.