Física
Calculadora del teorema de Gauss: flujo, carga y campos simétricos
Elige la relación y borra la magnitud desconocida. Además del teorema encontrarás los tres campos que Gauss resuelve en una línea: hilo indefinido, plano indefinido y esfera cargada, por dentro y por fuera.
Cuándo compensa Gauss y cuándo es solo un atajo elegante
El teorema de Gauss dice que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada vale Q₀/ε₀, donde Q₀ es únicamente la carga encerrada. Es siempre cierto, para cualquier superficie y cualquier distribución: no es una aproximación ni un caso particular. Pero siempre cierto no significa siempre útil, y justo ahí se concentran los errores de examen.
El teorema se convierte en herramienta de cálculo solo cuando la simetría permite sacar E fuera de la integral. Hace falta una superficie en la que el campo tenga módulo constante y dirección conocida respecto a la normal: una esfera concéntrica para una distribución esférica, un cilindro coaxial para un hilo, una caja a caballo del plano. Sin esa simetría el teorema sigue siendo válido pero no resuelve nada, porque la incógnita se queda dentro de la integral.
Las tres geometrías clásicas dan tres comportamientos distintos, y conviene tenerlos presentes como una sola imagen: la carga puntual y la esfera van como 1/r², el hilo como 1/r, el plano no depende de r. La razón es puramente geométrica: el área de la superficie gaussiana crece como r², como r, o se mantiene constante. Reconocer cuál de los tres casos tienes delante es la mitad del trabajo.
Errores frecuentes
- Incluir en el cálculo las cargas exteriores a la superficie: contribuyen al campo en cada punto, pero su flujo neto a través de una superficie cerrada es cero. En el teorema solo entra la carga encerrada.
- Usar la fórmula del campo interior para un punto fuera de la esfera, o al revés: dentro el campo crece con r, fuera decrece como 1/r². Ambos coinciden solo en la superficie.
- Confundir el campo de un solo plano, σ/2ε₀, con el que hay entre dos placas opuestas, σ/ε₀. El factor dos viene de que en el condensador los campos de las dos láminas se suman.
- Atribuir una carga total al hilo indefinido: en una longitud infinita solo tiene sentido la densidad lineal. Si el problema da una carga, también da la longitud sobre la que se reparte.
Preguntas frecuentes
¿Qué afirma el teorema de Gauss?
Que el flujo del campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga encerrada dividida por ε₀. No depende de la forma de la superficie, ni de dónde se encuentren las cargas dentro, ni de las cargas exteriores.
¿Cuándo conviene usar Gauss en lugar de la ley de Coulomb?
Cuando la distribución tiene simetría esférica, cilíndrica o plana. En esos casos se elige una superficie donde el campo es constante en módulo y perpendicular, y la integral se reduce al producto E·A. Sin simetría el teorema sigue siendo cierto, pero es más práctico integrar directamente la ley de Coulomb.
¿Por qué el campo de un plano indefinido no depende de la distancia?
Porque al alejarse se reciben aportaciones de una porción de plano cada vez mayor, y el aumento del área compensa exactamente el debilitamiento de cada elemento. Vale mientras la distancia sea pequeña frente a las dimensiones reales del plano.
¿Cuánto vale el campo dentro de una esfera conductora cargada?
Cero. En un conductor en equilibrio toda la carga está en la superficie, así que una superficie gaussiana interior no encierra carga alguna. El caso tratado aquí, con campo que crece linealmente con r, es el de una esfera aislante con carga repartida uniformemente por el volumen.
¿En qué unidad se mide el flujo eléctrico?
En newton por metro cuadrado y culombio (N·m²/C), equivalente a voltio por metro (V·m). Se obtiene multiplicando un campo en N/C por un área en m².
Cómo funciona este cálculo
Flujo a través de una superficie plana: Φ = E·A·cos θ, con θ el ángulo entre el campo y la normal a la superficie. Teorema de Gauss: Φ = Q₀/ε₀ a través de cualquier superficie cerrada, con ε₀ = 8,854 × 10⁻¹² F/m. Hilo rectilíneo indefinido de densidad λ: E = λ/(2πε₀r), radial. Plano indefinido de densidad σ: E = σ/(2ε₀), uniforme y perpendicular al plano. Entre dos placas planas con cargas opuestas: E = σ/ε₀. Esfera de carga Q, punto exterior a distancia r: E = kQ/r² con k = 1/(4πε₀). Esfera aislante uniforme de radio R, punto interior con r ≤ R: E = kQr/R³, que en la superficie enlaza con kQ/R².