Física
Calculadora da lei de Gauss: fluxo, carga interna e campos simétricos
Escolha uma relação e apague a grandeza que procura. Junto com o próprio teorema você tem os três campos que Gauss resolve em uma linha: um fio infinito, um plano infinito e uma esfera carregada vista de dentro e de fora.
Quando Gauss vale a pena, e quando é só um atalho elegante
A lei de Gauss diz que o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga interna dividida por ε₀. É sempre verdadeira, para qualquer superfície e qualquer distribuição: não é aproximação nem caso particular. Mas sempre verdadeira não é o mesmo que sempre útil, e é exatamente nessa diferença que os erros de prova se acumulam.
O teorema só vira ferramenta de cálculo quando a simetria permite tirar E da integral. É preciso uma superfície sobre a qual o campo tenha módulo constante e direção conhecida em relação à normal: uma esfera concêntrica para uma distribuição esférica, um cilindro coaxial para um fio, uma caixa atravessando o plano. Sem essa simetria o teorema continua válido, mas não resolve nada, porque a incógnita fica dentro da integral.
As três geometrias clássicas dão três decaimentos diferentes, e vale guardá-los como um único quadro: carga puntiforme e esfera vão com 1/r², um fio com 1/r, um plano não decai. O motivo é puramente geométrico — a área da superfície gaussiana cresce com r², com r, ou fica constante. Reconhecer qual dos três você tem diante de si é metade do trabalho.
Erros frequentes
- Contar as cargas fora da superfície: elas contribuem para o campo em todo ponto, mas o seu fluxo líquido através de uma superfície fechada é zero. Só a carga interna entra no teorema.
- Usar a fórmula interna para um ponto fora da esfera, ou o contrário: dentro, o campo cresce com r; fora, cai com 1/r². As duas só coincidem na superfície.
- Confundir o campo de um único plano, σ/2ε₀, com o campo entre duas placas opostas, σ/ε₀. O fator dois vem da soma dos campos das duas placas no espaço entre elas.
- Dar ao fio infinito uma carga total: em um comprimento infinito só a densidade linear tem sentido. Se o problema indica uma carga, também indica o comprimento sobre o qual ela se distribui.
Perguntas frequentes
O que diz a lei de Gauss?
Que o fluxo do campo elétrico através de qualquer superfície fechada é igual à carga interna dividida por ε₀. Não depende da forma da superfície, de onde as cargas estão dentro dela nem de eventuais cargas externas.
Quando devo usar a lei de Gauss em vez da lei de Coulomb?
Quando a distribuição tem simetria esférica, cilíndrica ou plana. Nesses casos dá para escolher uma superfície sobre a qual o campo é constante em módulo e perpendicular, e a integral se reduz a E·A. Sem simetria o teorema continua verdadeiro, mas integrar diretamente a lei de Coulomb é mais fácil.
Por que o campo de um plano infinito não depende da distância?
Porque ao se afastar você vê contribuições de um pedaço cada vez maior do plano, e o aumento da área compensa exatamente o enfraquecimento da contribuição de cada elemento. Vale enquanto a distância fica pequena em comparação com o tamanho real do plano.
Qual é o campo dentro de uma esfera condutora carregada?
Zero. Em um condutor em equilíbrio toda a carga fica na superfície, então uma superfície gaussiana desenhada dentro não encerra nada dela. O caso tratado aqui, em que o campo cresce linearmente com r, é o de uma esfera isolante com carga distribuída uniformemente no volume.
Em que unidade se mede o fluxo elétrico?
Em newton metro quadrado por coulomb (N·m²/C), equivalente a volt metro (V·m). Obtém-se multiplicando um campo em N/C por uma área em m².
Como funciona este cálculo
Fluxo através de uma superfície plana: Φ = E·A·cos θ, com θ o ângulo entre o campo e a normal à superfície. Lei de Gauss: Φ = Q₀/ε₀ através de qualquer superfície fechada, com ε₀ = 8,854 × 10⁻¹² F/m. Fio retilíneo infinito de densidade λ: E = λ/(2πε₀r), na direção radial. Plano infinito de densidade σ: E = σ/(2ε₀), uniforme e perpendicular ao plano. Entre duas placas planas com cargas opostas: E = σ/ε₀. Esfera de carga Q, ponto externo à distância r: E = kQ/r² com k = 1/(4πε₀). Esfera isolante uniforme de raio R, ponto interno a r ≤ R: E = kQr/R³, que encontra kQ/R² na superfície.