Physique
Calculatrice du théorème de Gauss : flux, charge et champs symétriques
Choisis la relation et efface la grandeur inconnue. Outre le théorème lui-même, tu trouveras les trois champs que Gauss règle en une ligne : fil infini, plan infini et sphère chargée, vue de l'intérieur comme de l'extérieur.
Quand Gauss est payant et quand ce n'est qu'un raccourci élégant
Le théorème de Gauss affirme que le flux du champ électrique à travers une surface fermée vaut Q₀/ε₀, où Q₀ est la seule charge intérieure. C'est toujours vrai, pour n'importe quelle surface et n'importe quelle distribution : ni approximation ni cas particulier. Mais toujours vrai ne veut pas dire toujours utile, et c'est précisément dans cet écart que se logent les erreurs d'examen.
Le théorème ne devient un outil de calcul que si la symétrie permet de sortir E de l'intégrale. Il faut une surface sur laquelle le champ a un module constant et une direction connue par rapport à la normale : une sphère concentrique pour une distribution sphérique, un cylindre coaxial pour un fil, une boîte à cheval sur le plan. Sans cette symétrie, le théorème reste valable mais ne résout rien, car l'inconnue demeure sous l'intégrale.
Les trois géométries classiques donnent trois décroissances différentes, et il vaut la peine de les retenir comme une seule image : la charge ponctuelle et la sphère vont en 1/r², le fil en 1/r, le plan pas du tout. La raison est purement géométrique : l'aire de la surface de Gauss croît en r², en r, ou reste constante. Reconnaître lequel des trois cas on regarde, c'est la moitié du travail.
Erreurs fréquentes
- Compter les charges extérieures à la surface : elles contribuent bien au champ en chaque point, mais leur flux net à travers une surface fermée est nul. Seule la charge intérieure entre dans le théorème.
- Employer la formule du champ intérieur pour un point hors de la sphère, ou l'inverse : à l'intérieur le champ croît avec r, à l'extérieur il décroît en 1/r². Les deux ne coïncident qu'en surface.
- Confondre le champ d'un plan seul, σ/2ε₀, avec celui régnant entre deux armatures opposées, σ/ε₀. Le facteur deux vient de ce que, dans le condensateur, les champs des deux lames s'ajoutent.
- Attribuer une charge totale au fil infini : sur une longueur infinie, seule la densité linéique a un sens. Si l'énoncé donne une charge, il donne aussi la longueur sur laquelle elle est répartie.
Questions fréquentes
Que dit le théorème de Gauss ?
Que le flux du champ électrique à travers n'importe quelle surface fermée égale la charge intérieure divisée par ε₀. Il ne dépend ni de la forme de la surface, ni de l'endroit où se trouvent les charges à l'intérieur, ni des charges extérieures.
Quand vaut-il mieux utiliser Gauss plutôt que la loi de Coulomb ?
Quand la distribution présente une symétrie sphérique, cylindrique ou plane. On choisit alors une surface où le champ est constant en module et perpendiculaire, et l'intégrale se ramène au produit E·A. Sans symétrie, le théorème reste vrai mais intégrer directement la loi de Coulomb est plus simple.
Pourquoi le champ d'un plan infini ne dépend-il pas de la distance ?
Parce qu'en s'éloignant on reçoit les contributions d'une portion de plan toujours plus grande, et l'augmentation de l'aire compense exactement l'affaiblissement de chaque élément. Cela vaut tant que la distance reste petite devant les dimensions réelles du plan.
Que vaut le champ à l'intérieur d'une sphère conductrice chargée ?
Zéro. Dans un conducteur à l'équilibre toute la charge se tient en surface, donc une surface de Gauss tracée à l'intérieur n'enferme aucune charge. Le cas traité ici, avec un champ croissant linéairement en r, est celui d'une sphère isolante dont la charge est répartie uniformément dans le volume.
Quelle est l'unité du flux électrique ?
Le newton mètre carré par coulomb (N·m²/C), équivalent au volt mètre (V·m). On l'obtient en multipliant un champ en N/C par une aire en m².
Comment ce calcul fonctionne
Flux à travers une surface plane : Φ = E·A·cos θ, θ étant l'angle entre le champ et la normale à la surface. Théorème de Gauss : Φ = Q₀/ε₀ à travers toute surface fermée, avec ε₀ = 8,854 × 10⁻¹² F/m. Fil rectiligne infini de densité λ : E = λ/(2πε₀r), radial. Plan infini de densité σ : E = σ/(2ε₀), uniforme et perpendiculaire au plan. Entre deux armatures planes de charges opposées : E = σ/ε₀. Sphère de charge Q, point extérieur à distance r : E = kQ/r² avec k = 1/(4πε₀). Sphère isolante uniforme de rayon R, point intérieur à r ≤ R : E = kQr/R³, qui rejoint kQ/R² à la surface.