Fisica
Calcolatrice di termodinamica: primo principio, trasformazioni, Carnot
Scegli la relazione e cancella la grandezza incognita: il calcolatore inverte la formula al posto tuo. Le temperature qui sono assolute e vanno in kelvin, perché compaiono come valori e non solo come differenze.
Il primo principio conta, il secondo limita
Il primo principio della termodinamica è contabilità: l'energia data a un gas o resta dentro come energia interna o esce come lavoro, e ΔU = Q − W non dice altro. Le trasformazioni classiche sono i quattro modi di annullare uno dei termini. A volume costante non c'è lavoro e tutto il calore alza la temperatura; a pressione costante il lavoro è semplicemente p·ΔV; a temperatura costante l'energia interna non cambia e ogni joule assorbito riesce come lavoro; senza scambio di calore il gas paga il lavoro con la propria energia interna e si raffredda. Riconoscere quale caso si ha davanti è il primo passo di ogni esercizio.
L'adiabatica merita un'occhiata in più, perché è l'unica in cui cambiano insieme pressione, volume e temperatura. La legge p·V^γ = costante è più ripida di quella di Boyle: comprimendo un gas non solo lo si schiaccia, lo si scalda, e la pressione sale per entrambi i motivi. L'indice γ è il rapporto fra i due calori molari e vale 1,67 per un gas monoatomico, 1,4 per l'aria. È la ragione per cui un motore diesel accende il gasolio senza candela, e per cui una pompa da bicicletta scotta dopo venti colpi.
Il secondo principio non aggiunge un conto ma un divieto. Il calore va spontaneamente dal caldo al freddo e mai al contrario, e da questo segue che nessuna macchina termica può trasformare in lavoro tutto il calore che assorbe: una parte va sempre scaricata nella sorgente fredda. Carnot fissa il limite in 1 − T_f/T_c, con le temperature assolute, e nessuna astuzia costruttiva lo supera. Da qui l'entropia, ΔS = Q/T, che misura quanto di quel calore è ormai indisponibile: lo stesso calore ceduto a temperatura più bassa produce più entropia, cioè più energia che non si potrà più usare.
Errori frequenti
- Sbagliare il segno del lavoro. Con la convenzione ΔU = Q − W, il lavoro è positivo quando il gas si espande; una compressione va inserita con il segno meno.
- Usare i gradi Celsius nelle formule con temperature assolute. Nel rendimento di Carnot e nell'entropia servono i kelvin: una temperatura di 27 °C vale 300,15 K, non 27.
- Applicare p·V = costante a una trasformazione adiabatica. Lì vale p·V^γ = costante, e la differenza è tutt'altro che piccola: comprimendo l'aria a un quarto, la pressione non quadruplica ma diventa quasi sette volte.
- Confondere il rendimento reale con quello di Carnot. Quello di Carnot è solo il tetto teorico fra due temperature; una macchina vera resta sempre sotto, e se i conti danno di più c'è un errore nei dati.
- Dimenticare che in un'isoterma ΔU è zero. Se la temperatura non cambia, il calore assorbito e il lavoro compiuto coincidono, e cercarne uno senza l'altro è lavoro sprecato.
Domande frequenti
Che segno ha il lavoro nel primo principio?
In questa pagina, come nella convenzione più diffusa, W è positivo quando è il gas a compiere lavoro sull'esterno, cioè quando si espande. Il primo principio si scrive allora ΔU = Q − W. Se il gas viene compresso, inserisci un lavoro negativo.
Perché in un'isoterma tutto il calore diventa lavoro?
Perché l'energia interna di un gas ideale dipende solo dalla temperatura: se la temperatura non cambia, ΔU è zero. Il primo principio lascia allora Q = W, cioè ogni joule assorbito esce come lavoro.
Perché comprimere un gas in fretta lo scalda?
Perché la compressione rapida è praticamente adiabatica: non c'è tempo per scambiare calore, quindi il lavoro fatto sul gas finisce tutto nella sua energia interna e la temperatura sale. È il principio del motore diesel e il motivo per cui una pompa da bicicletta si scalda.
Perché nessuna macchina termica arriva al 100%?
Perché una macchina che restituisse come lavoro tutto il calore assorbito violerebbe il secondo principio. Serve sempre una sorgente fredda dove scaricare una parte del calore, e il rendimento massimo è quello di Carnot: 1 − T_f/T_c, con le temperature in kelvin.
Come si alza il rendimento di Carnot?
Alzando la temperatura della sorgente calda o abbassando quella della fredda. Poiché conta il rapporto fra temperature assolute, guadagnare venti gradi su una caldaia a 800 K rende molto meno che guadagnarne venti su un condensatore a 300 K.
Come funziona questo calcolo
Primo principio con il lavoro positivo quando compiuto dal gas: ΔU = Q − W. Lavoro isobaro: W = p·ΔV, negativo nelle compressioni. Lavoro isotermo per un gas ideale: W = n·R·T·ln(V₂/V₁) con R = 8,314 J/(mol·K); poiché ΔU = 0, vale anche Q = W. Energia interna: ΔU = n·c_V·ΔT, con c_V = (f/2)·R e f gradi di libertà, cioè 3R/2 per un gas monoatomico e 5R/2 per uno biatomico. Trasformazione adiabatica reversibile: p₁V₁^γ = p₂V₂^γ, con γ = c_p/c_V; il lavoro compiuto vale W = (p₁V₁ − p₂V₂)/(γ − 1) e il rapporto p₂V₂/(p₁V₁) è il rapporto fra le temperature assolute. Rendimento di una macchina termica: η = W/Q_c = 1 − Q_f/Q_c, con 0 < η < 1. Rendimento di Carnot, limite superiore fra due sorgenti: η = 1 − T_f/T_c, con temperature in kelvin. Variazione di entropia per scambio reversibile a temperatura costante: ΔS = Q/T.