Physik
Thermodynamik-Rechner: erster Hauptsatz, Zustandsänderungen, Carnot
Wähle die Beziehung und lösche die gesuchte Größe: Der Rechner stellt die Formel für dich um. Die Temperaturen sind hier absolut und stehen in Kelvin, weil sie als Werte und nicht nur als Differenzen auftreten.
Der erste Hauptsatz rechnet, der zweite begrenzt
Der erste Hauptsatz der Thermodynamik ist Buchhaltung: Die einem Gas zugeführte Energie bleibt entweder als innere Energie darin oder geht als Arbeit hinaus, und ΔU = Q − W sagt nichts anderes. Die klassischen Zustandsänderungen sind die vier Arten, einen dieser Terme zu null zu machen. Bei konstantem Volumen gibt es keine Arbeit und die gesamte Wärme hebt die Temperatur; bei konstantem Druck ist die Arbeit schlicht p·ΔV; bei konstanter Temperatur ändert sich die innere Energie nicht und jedes aufgenommene Joule kommt als Arbeit zurück; ohne Wärmeaustausch bezahlt das Gas seine Arbeit aus der eigenen inneren Energie und kühlt ab. Zu erkennen, welcher Fall vorliegt, ist der erste Schritt jeder Aufgabe.
Die Adiabate verdient einen zweiten Blick, denn sie ist die einzige, bei der sich Druck, Volumen und Temperatur zugleich ändern. Das Gesetz p·V^γ = konstant verläuft steiler als das von Boyle: Verdichten presst das Gas nicht nur zusammen, es erwärmt es, und der Druck steigt aus beiden Gründen. Der Exponent γ ist das Verhältnis der beiden molaren Wärmen und beträgt 1,67 für ein einatomiges Gas, 1,4 für Luft. Deshalb entzündet ein Dieselmotor den Kraftstoff ohne Zündkerze, und deshalb ist eine Luftpumpe nach zwanzig Hüben heiß.
Der zweite Hauptsatz fügt keine Rechnung hinzu, sondern ein Verbot. Wärme geht von selbst vom Warmen zum Kalten und nie umgekehrt, und daraus folgt, dass keine Wärmekraftmaschine die gesamte aufgenommene Wärme in Arbeit verwandeln kann: Ein Teil muss stets ins kalte Reservoir. Carnot setzt die Grenze bei 1 − T_k/T_w, mit absoluten Temperaturen, und keine bauliche Raffinesse kommt darüber hinaus. Daher die Entropie, ΔS = Q/T, die misst, wie viel dieser Wärme nicht mehr verfügbar ist: Dieselbe Wärme bei niedrigerer Temperatur erzeugt mehr Entropie, also mehr Energie, die sich nie wieder nutzen lässt.
Häufige Fehler
- Das Vorzeichen der Arbeit verwechseln. Mit der Konvention ΔU = Q − W ist die Arbeit positiv, wenn sich das Gas ausdehnt; eine Verdichtung wird mit Minuszeichen eingegeben.
- Grad Celsius in Formeln mit absoluten Temperaturen verwenden. Carnot-Wirkungsgrad und Entropie brauchen Kelvin: 27 °C sind 300,15 K, nicht 27.
- p·V = konstant auf eine adiabatische Zustandsänderung anwenden. Dort gilt p·V^γ = konstant, und der Unterschied ist alles andere als klein: Verdichtet man Luft auf ein Viertel, vervierfacht sich der Druck nicht, sondern steigt fast auf das Siebenfache.
- Den wirklichen Wirkungsgrad mit dem von Carnot verwechseln. Carnots Wert ist nur die theoretische Obergrenze zwischen zwei Temperaturen; eine reale Maschine bleibt stets darunter, und ergibt die Rechnung mehr, stimmen die Daten nicht.
- Vergessen, dass ΔU bei einer Isothermen null ist. Ändert sich die Temperatur nicht, sind aufgenommene Wärme und verrichtete Arbeit dieselbe Zahl, und eines ohne das andere zu suchen ist vergebliche Mühe.
Häufige Fragen
Welches Vorzeichen hat die Arbeit im ersten Hauptsatz?
Auf dieser Seite, wie in der gebräuchlichsten Konvention, ist W positiv, wenn das Gas Arbeit an der Umgebung verrichtet, also wenn es sich ausdehnt. Der erste Hauptsatz lautet dann ΔU = Q − W. Wird das Gas verdichtet, gib eine negative Arbeit ein.
Warum wird bei einer Isothermen die gesamte Wärme zu Arbeit?
Weil die innere Energie eines idealen Gases nur von der Temperatur abhängt: Ändert sich die Temperatur nicht, ist ΔU null. Der erste Hauptsatz lässt dann Q = W übrig, jedes aufgenommene Joule kommt als Arbeit zurück.
Warum erwärmt sich ein Gas beim schnellen Verdichten?
Weil eine schnelle Verdichtung praktisch adiabatisch abläuft: Es bleibt keine Zeit für Wärmeaustausch, also geht die am Gas verrichtete Arbeit vollständig in seine innere Energie und die Temperatur steigt. Das ist das Prinzip des Dieselmotors und der Grund, warum eine Luftpumpe heiß wird.
Warum erreicht keine Wärmekraftmaschine 100 %?
Weil eine Maschine, die die gesamte aufgenommene Wärme als Arbeit zurückgäbe, den zweiten Hauptsatz verletzen würde. Es braucht immer ein kaltes Reservoir, in das ein Teil der Wärme abgeführt wird, und der höchste Wirkungsgrad ist der von Carnot: 1 − T_k/T_w, mit Temperaturen in Kelvin.
Wie erhöht man den Carnot-Wirkungsgrad?
Indem man das warme Reservoir wärmer oder das kalte kälter macht. Da das Verhältnis der absoluten Temperaturen zählt, bringen zwanzig Grad mehr an einem 800-K-Kessel weit weniger als zwanzig Grad weniger an einem 300-K-Kondensator.
Wie diese Berechnung funktioniert
Erster Hauptsatz mit positiver Arbeit, wenn sie vom Gas verrichtet wird: ΔU = Q − W. Isobare Arbeit: W = p·ΔV, bei Verdichtung negativ. Isotherme Arbeit für ein ideales Gas: W = n·R·T·ln(V₂/V₁) mit R = 8,314 J/(mol·K); da ΔU = 0, gilt auch Q = W. Innere Energie: ΔU = n·c_V·ΔT, mit c_V = (f/2)·R für f Freiheitsgrade, also 3R/2 für ein einatomiges und 5R/2 für ein zweiatomiges Gas. Reversible adiabatische Zustandsänderung: p₁V₁^γ = p₂V₂^γ mit γ = c_p/c_V; die verrichtete Arbeit ist W = (p₁V₁ − p₂V₂)/(γ − 1), und das Verhältnis p₂V₂/(p₁V₁) ist das Verhältnis der absoluten Temperaturen. Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine: η = W/Q_w = 1 − Q_k/Q_w, mit 0 < η < 1. Carnot-Wirkungsgrad, die Obergrenze zwischen zwei Reservoiren: η = 1 − T_k/T_w, Temperaturen in Kelvin. Entropieänderung bei reversiblem Austausch bei konstanter Temperatur: ΔS = Q/T.