Geometria analitica
Distanza fra due punti e punto medio
Due coppie di coordinate e hai subito la lunghezza del segmento e il suo punto medio, più le componenti del vettore che unisce i due punti.
Distanza e punto medio: due formule, un solo triangolo
La distanza fra due punti non è una formula nuova: è il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo che ha per cateti le differenze delle coordinate. Δx = x₂ − x₁ è il cateto orizzontale, Δy = y₂ − y₁ quello verticale, e l'ipotenusa √(Δx² + Δy²) è il segmento che stai misurando. Vederlo così spiega anche perché i segni non contano: i cateti vengono elevati al quadrato.
Il punto medio è ancora più semplice, ed è la media delle coordinate presa separatamente: la x del punto medio è la media delle due x, la y è la media delle due y. Non c'è nessuna radice quadrata, e il risultato è esatto anche quando la distanza è irrazionale. È una differenza che vale la pena notare: due punti a coordinate intere hanno quasi sempre un punto medio razionale e una distanza irrazionale.
Le componenti Δx e Δy sono riportate perché sono il vero contenuto geometrico del calcolo: insieme formano il vettore che porta da P₁ a P₂, e da loro discendono la pendenza del segmento, la sua direzione e ogni traslazione che l'esercizio chiederà dopo.
Errori frequenti
- Sommare le coordinate invece di sottrarle nella distanza: la formula usa le differenze, e con punti nel primo quadrante l'errore restituisce comunque un numero positivo e credibile.
- Confondere punto medio e distanza dividendo la distanza per due: il punto medio è una coppia di coordinate, non una lunghezza. La metà della distanza è quanto dista il punto medio da ciascun estremo, che è un'altra cosa.
- Sbagliare i segni con le coordinate negative: −3 − (−7) fa +4, non −10. È il passaggio in cui si perdono più esercizi di geometria analitica.
Domande frequenti
Qual è la formula della distanza fra due punti?
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). È il teorema di Pitagora applicato al triangolo che ha per cateti le differenze delle ascisse e delle ordinate. Poiché le differenze vengono elevate al quadrato, l'ordine dei punti non influisce sul risultato.
Come si calcolano le coordinate del punto medio?
Si fa la media delle coordinate omologhe: xM = (x₁ + x₂)/2 e yM = (y₁ + y₂)/2. Il punto medio è sempre allineato con i due estremi e dista da ciascuno metà della lunghezza del segmento.
La distanza può venire negativa?
No, mai. È una radice quadrata di una somma di quadrati, quindi è zero o positiva. Se ottieni un numero negativo hai sbagliato un segno o hai dimenticato di elevare al quadrato una delle differenze.
Come funziona questo calcolo
Componenti: Δx = x₂ − x₁, Δy = y₂ − y₁. Distanza: d = √(Δx² + Δy²). Punto medio: M = ((x₁+x₂)/2; (y₁+y₂)/2). Pendenza del segmento: m = Δy/Δx, non definita quando Δx = 0. Direzione: θ = atan2(Δy; Δx), misurata da P₁ verso P₂ e riportata in [0°; 360°). Punto simmetrico di P₁ rispetto a P₂: P′ = (2x₂ − x₁; 2y₂ − y₁), cioè il punto che ha P₂ come punto medio con P₁.
Calcoli collegati
Retta per due punti
Equazione della retta in forma esplicita e implicita, coefficiente angolare e intercette.
Coniche
Riconosce la conica dall'equazione generale e ne ricava centro, fuochi, assi, eccentricità, asintoti e forma canonica.
Calcolo vettoriale
Prodotto scalare e vettoriale, angolo fra due vettori, proiezione e aree.