Géométrie analytique
Distance entre deux points et milieu
Deux couples de coordonnées suffisent pour obtenir la longueur du segment et son milieu, ainsi que les composantes du vecteur qui relie les deux points.
Distance et milieu : deux formules, un seul triangle
La distance entre deux points n'est pas une formule nouvelle : c'est le théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit sont les différences des coordonnées. Δx = x₂ − x₁ est le côté horizontal, Δy = y₂ − y₁ le vertical, et l'hypoténuse √(Δx² + Δy²) est le segment que vous mesurez. Vu ainsi, on comprend aussi pourquoi les signes n'importent pas : les côtés sont élevés au carré.
Le milieu est encore plus simple, et c'est la moyenne des coordonnées prises séparément : l'abscisse du milieu est la moyenne des deux abscisses, l'ordonnée la moyenne des deux ordonnées. Il n'y a aucune racine carrée, et le résultat est exact même lorsque la distance est irrationnelle. C'est une différence à noter : deux points à coordonnées entières ont presque toujours un milieu rationnel et une distance irrationnelle.
Les composantes Δx et Δy sont affichées parce qu'elles constituent le véritable contenu géométrique du calcul : ensemble elles forment le vecteur qui mène de P₁ à P₂, et d'elles découlent la pente du segment, sa direction et toute translation que l'exercice demandera ensuite.
Erreurs fréquentes
- Additionner les coordonnées au lieu de les soustraire dans la distance : la formule utilise des différences, et avec des points du premier quadrant l'erreur donne tout de même un nombre positif et crédible.
- Confondre milieu et distance en divisant la distance par deux : le milieu est un couple de coordonnées, pas une longueur. La moitié de la distance est ce qui sépare le milieu de chaque extrémité, ce qui est autre chose.
- Se tromper de signe avec des coordonnées négatives : −3 − (−7) fait +4, pas −10. C'est l'étape où se perdent le plus d'exercices de géométrie analytique.
Questions fréquentes
Quelle est la formule de la distance entre deux points ?
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). C'est le théorème de Pythagore appliqué au triangle dont les côtés de l'angle droit sont les différences des abscisses et des ordonnées. Comme les différences sont élevées au carré, l'ordre des points n'influe pas sur le résultat.
Comment calculer les coordonnées du milieu ?
On fait la moyenne des coordonnées homologues : xM = (x₁ + x₂)/2 et yM = (y₁ + y₂)/2. Le milieu est toujours aligné avec les deux extrémités et se trouve à la moitié de la longueur du segment de chacune.
La distance peut-elle être négative ?
Jamais. C'est la racine carrée d'une somme de carrés, donc elle est nulle ou positive. Si vous obtenez un nombre négatif, vous avez fait une erreur de signe ou oublié d'élever au carré l'une des différences.
Comment fonctionne ce calcul
Composantes : Δx = x₂ − x₁, Δy = y₂ − y₁. Distance : d = √(Δx² + Δy²). Milieu : M = ((x₁+x₂)/2 ; (y₁+y₂)/2). Pente du segment : m = Δy/Δx, non définie lorsque Δx = 0. Direction : θ = atan2(Δy ; Δx), mesurée de P₁ vers P₂ et donnée dans [0° ; 360°). Symétrique de P₁ par rapport à P₂ : P′ = (2x₂ − x₁ ; 2y₂ − y₁), c'est-à-dire le point qui a P₂ pour milieu avec P₁.
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