Geometría analítica
Distancia entre dos puntos y punto medio
Dos pares de coordenadas y tienes al instante la longitud del segmento y su punto medio, además de las componentes del vector que une los dos puntos.
Distancia y punto medio: dos fórmulas, un solo triángulo
La distancia entre dos puntos no es una fórmula nueva: es el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo cuyos catetos son las diferencias de las coordenadas. Δx = x₂ − x₁ es el cateto horizontal, Δy = y₂ − y₁ el vertical, y la hipotenusa √(Δx² + Δy²) es el segmento que estás midiendo. Verlo así explica también por qué los signos no importan: los catetos se elevan al cuadrado.
El punto medio es aún más sencillo, y es la media de las coordenadas tomadas por separado: la x del punto medio es la media de las dos x, la y es la media de las dos y. No hay ninguna raíz cuadrada, y el resultado es exacto incluso cuando la distancia es irracional. Es una diferencia que conviene notar: dos puntos de coordenadas enteras casi siempre tienen punto medio racional y distancia irracional.
Las componentes Δx y Δy se muestran porque son el verdadero contenido geométrico del cálculo: juntas forman el vector que lleva de P₁ a P₂, y de ellas se derivan la pendiente del segmento, su dirección y cualquier traslación que el ejercicio pida después.
Errores frecuentes
- Sumar las coordenadas en vez de restarlas en la distancia: la fórmula usa diferencias, y con puntos del primer cuadrante el error devuelve igualmente un número positivo y creíble.
- Confundir punto medio y distancia dividiendo la distancia entre dos: el punto medio es un par de coordenadas, no una longitud. La mitad de la distancia es lo que dista el punto medio de cada extremo, que es otra cosa.
- Equivocarse con los signos al haber coordenadas negativas: −3 − (−7) es +4, no −10. Es el paso donde se pierden más ejercicios de geometría analítica.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la fórmula de la distancia entre dos puntos?
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Es el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo cuyos catetos son las diferencias de abscisas y ordenadas. Como las diferencias se elevan al cuadrado, el orden de los puntos no influye en el resultado.
¿Cómo se calculan las coordenadas del punto medio?
Se hace la media de las coordenadas homólogas: xM = (x₁ + x₂)/2 e yM = (y₁ + y₂)/2. El punto medio siempre está alineado con los extremos y dista de cada uno la mitad de la longitud del segmento.
¿La distancia puede salir negativa?
Nunca. Es la raíz cuadrada de una suma de cuadrados, así que es cero o positiva. Si obtienes un número negativo, has cometido un error de signo o has olvidado elevar al cuadrado una de las diferencias.
Cómo funciona este cálculo
Componentes: Δx = x₂ − x₁, Δy = y₂ − y₁. Distancia: d = √(Δx² + Δy²). Punto medio: M = ((x₁+x₂)/2; (y₁+y₂)/2). Pendiente del segmento: m = Δy/Δx, no definida cuando Δx = 0. Dirección: θ = atan2(Δy; Δx), medida de P₁ hacia P₂ y expresada en [0°; 360°). Punto simétrico de P₁ respecto a P₂: P′ = (2x₂ − x₁; 2y₂ − y₁), es decir el punto que tiene a P₂ como punto medio con P₁.
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