Calcolo vettoriale: prodotto scalare, vettoriale e angolo

Le due moltiplicazioni fra vettori

Sommare due vettori è facile — si sommano le componenti — ma moltiplicarli si può fare in due modi diversi, e servono a cose diverse. Il prodotto scalare u · v = uₓvₓ + u_yv_y + u_zv_z restituisce un numero, e quel numero vale |u||v|·cos θ: misura quanto i due vettori puntano nella stessa direzione. È zero quando sono perpendicolari, ed è il conto che sta dietro al lavoro di una forza lungo uno spostamento e alla proiezione di un vettore sull'altro.

Il prodotto vettoriale u × v restituisce invece un altro vettore, perpendicolare a entrambi, di modulo |u||v|·sen θ. Quel modulo è l'area del parallelogramma costruito sui due vettori — e la sua metà è l'area del triangolo — mentre la direzione dà la normale al piano che i due individuano. Esiste solo nello spazio: nel piano sopravvive la sola componente z, che è l'area con segno, positiva se v sta a sinistra di u.

L'angolo fra due vettori si può ricavare da entrambi, ma non con la stessa precisione. Dal prodotto scalare si ottiene cos θ, e il coseno è piatto vicino a 0° e a 180°: lì un errore di arrotondamento nella nona cifra sposta l'angolo nella quinta. Questa calcolatrice usa invece l'arcotangente del rapporto fra il modulo del prodotto vettoriale e il prodotto scalare, che resta preciso a entrambi gli estremi, ed è il motivo per cui due vettori quasi paralleli danno qui un angolo attendibile.

Errori frequenti

Scambiare i due prodotti. Il prodotto scalare dà un numero, il prodotto vettoriale dà un vettore: se il risultato atteso è un'area o una normale serve il secondo, se è un lavoro o una proiezione serve il primo.
Dare per scontato che u × v sia uguale a v × u. Il prodotto vettoriale cambia segno se si scambiano i fattori: u × v = −(v × u). Il prodotto scalare invece è simmetrico, e da lì viene l'abitudine sbagliata.
Confondere il versore con il vettore. Il versore ha la stessa direzione ma modulo 1, e si ottiene dividendo ogni componente per il modulo. È il vettore nullo l'unico che non ne ha uno, perché non ha una direzione da conservare.

Domande frequenti

Come si calcola l'angolo fra due vettori?

Dalla relazione u · v = |u||v|·cos θ si ricava θ = arccos(u · v / (|u||v|)). Vicino a 0° e a 180° quella formula perde precisione, perché il coseno lì è piatto: è più stabile θ = arctan2(|u × v|, u · v), ed è la forma usata qui.

Quando due vettori sono perpendicolari?

Quando il loro prodotto scalare è nullo. Non serve calcolare l'angolo: se uₓvₓ + u_yv_y + u_zv_z fa zero e nessuno dei due è il vettore nullo, l'angolo è di 90°.

Come si capisce se due vettori sono paralleli?

Quando il prodotto vettoriale è nullo, cioè quando uno è multiplo dell'altro. Nel piano basta verificare che uₓv_y − u_yvₓ faccia zero. Attenzione: sono paralleli anche i vettori che puntano in versi opposti, e in quel caso l'angolo è di 180°.

A che cosa serve la proiezione di un vettore su un altro?

A separare un vettore in due parti: quella che va nella direzione di v e quella che le è perpendicolare. La prima vale (u · v / |v|²)·v, la seconda è ciò che resta. È il passaggio che compare nella scomposizione delle forze su un piano inclinato e nell'ortogonalizzazione di una base.

Come si calcola l'area di un triangolo dati due vettori?

È metà del modulo del prodotto vettoriale: area = |u × v|/2. Nel piano si riduce a |uₓv_y − u_yvₓ|/2. Se i tre vertici sono A, B e C, si prendono come vettori u = B − A e v = C − A.

Come funziona questo calcolo

Modulo: |u| = √(uₓ² + u_y² + u_z²). Versore: û = u/|u|, definito solo se |u| ≠ 0. Somma e differenza: componente per componente. Prodotto scalare: u · v = uₓvₓ + u_yv_y + u_zv_z = |u||v|·cos θ. Prodotto vettoriale: u × v = (u_yv_z − u_zv_y, u_zvₓ − uₓv_z, uₓv_y − u_yvₓ), con |u × v| = |u||v|·sen θ; nel piano resta la sola componente z. Angolo: θ = arctan2(|u × v|, u · v), forma preferita all'arcocoseno perché resta precisa anche vicino a 0° e 180°. Area del parallelogramma: |u × v|; del triangolo: la metà. Proiezione di u su v: componente scalare u · v/|v|, vettore (u · v/|v|²)·v; la parte perpendicolare è u meno quella proiezione. Distanza fra gli estremi: |u − v|. Perpendicolarità: u · v = 0; parallelismo: |u × v| = 0. Entrambe le verifiche usano una tolleranza proporzionale a |u||v|, perché in virgola mobile un prodotto che dovrebbe annullarsi quasi mai fa esattamente zero.

Retta per due punti

Equazione della retta in forma esplicita e implicita, coefficiente angolare e intercette.

Distanza e punto medio

Distanza fra due punti del piano cartesiano e coordinate del punto medio del segmento.

Coniche

Riconosce la conica dall'equazione generale e ne ricava centro, fuochi, assi, eccentricità, asintoti e forma canonica.

Matrici e vettori

Somma, prodotto, determinante, trasposta, prodotto scalare e modulo tra matrici e vettori.