Retta passante per due punti: equazione e coefficiente angolare

Come si ricava la retta per due punti

Due punti distinti determinano una sola retta: è il primo assioma della geometria, e in coordinate diventa una formula. Il coefficiente angolare m è il rapporto fra la variazione di y e quella di x, cioè (y₂−y₁)/(x₂−x₁): dice di quanto sale la retta ogni volta che ci si sposta di una unità verso destra. Trovato m, l'intercetta q si ottiene imponendo il passaggio per uno qualsiasi dei due punti, e l'equazione y = mx + q è completa.

La forma implicita ax + by + c = 0 sembra solo una riscrittura, ma è quella che regge sempre. Una retta verticale non ha coefficiente angolare — la divisione per x₂−x₁ = 0 non si può fare — eppure la sua equazione x = 3 si scrive senza problemi come x − 3 = 0. Per questo la calcolatrice costruisce prima la forma implicita e ne ricava poi tutto il resto: il caso particolare non ha bisogno di un trattamento separato.

Il coefficiente angolare è anche la chiave delle rette parallele e perpendicolari. Due rette sono parallele quando hanno lo stesso m; sono perpendicolari quando il prodotto dei coefficienti vale −1, cioè quando uno è l'antireciproco dell'altro. Il valore è riportato sotto il risultato perché la domanda successiva dell'esercizio è quasi sempre quella.

Errori frequenti

Invertire numeratore e denominatore nel coefficiente angolare: è la differenza di ordinate sopra e quella di ascisse sotto, non il contrario. Il risultato sbagliato è il reciproco di quello giusto, e con m = 2 diventa 0,5: plausibile, quindi difficile da notare.
Sottrarre le coordinate in ordine diverso sopra e sotto: (y₂−y₁)/(x₁−x₂) cambia il segno di m e ribalta la retta. L'ordine dei punti può essere qualsiasi, ma deve essere lo stesso nei due termini.
Cercare il coefficiente angolare di una retta verticale: non esiste, e non è un errore di calcolo. La retta x = k è perfettamente definita ma ha pendenza infinita, e va scritta in quella forma.

Domande frequenti

Come si trova l'equazione della retta passante per due punti?

Si calcola il coefficiente angolare m = (y₂−y₁)/(x₂−x₁), poi si impone il passaggio per uno dei due punti nella formula y − y₁ = m(x − x₁). Sviluppando si ottiene la forma esplicita y = mx + q. La calcolatrice mostra entrambi i passaggi insieme alla forma implicita ax + by + c = 0.

Cosa significa che il coefficiente angolare non è definito?

Che la retta è verticale. In quel caso x₂ − x₁ vale zero e la formula richiederebbe una divisione per zero. La retta esiste eccome, ma la sua equazione è x = costante e non può essere scritta nella forma y = mx + q.

Come ottengo la retta perpendicolare a quella trovata?

Il coefficiente della perpendicolare è −1/m, ed è riportato fra i risultati. Per avere l'equazione completa basta imporre il passaggio per il punto richiesto: y − y₀ = (−1/m)(x − x₀). Se la retta di partenza è orizzontale, la perpendicolare è verticale e si scrive x = x₀.

L'ordine in cui inserisco i due punti cambia il risultato?

No. Scambiando P₁ e P₂ cambiano segno sia il numeratore sia il denominatore del coefficiente angolare, e il rapporto resta identico. L'equazione della retta è la stessa.

Come funziona questo calcolo

Coefficiente angolare: m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁), definito solo se x₁ ≠ x₂. Forma punto-pendenza: y − y₁ = m(x − x₁). Forma esplicita: y = mx + q con q = y₁ − m·x₁. Forma implicita, valida anche per la retta verticale: (y₂ − y₁)(x − x₁) − (x₂ − x₁)(y − y₁) = 0, cioè ax + by + c = 0 con a = y₂ − y₁, b = −(x₂ − x₁), c = −(a·x₁ + b·y₁). Angolo di inclinazione: α = arctan(m), riportato in [0°; 180°). Coefficiente della perpendicolare: m⊥ = −1/m. Punto medio: M = ((x₁+x₂)/2; (y₁+y₂)/2). Distanza: d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²).

Distanza e punto medio

Distanza fra due punti del piano cartesiano e coordinate del punto medio del segmento.

Coniche

Riconosce la conica dall'equazione generale e ne ricava centro, fuochi, assi, eccentricità, asintoti e forma canonica.

Calcolo vettoriale

Prodotto scalare e vettoriale, angolo fra due vettori, proiezione e aree.