Odległość między dwoma punktami i środek odcinka

Odległość i środek odcinka: dwa wzory, jeden trójkąt

Odległość między dwoma punktami to nie nowy wzór: to twierdzenie Pitagorasa zastosowane do trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątnymi są różnice współrzędnych. Δx = x₂ − x₁ to przyprostokątna pozioma, Δy = y₂ − y₁ pionowa, a przeciwprostokątna √(Δx² + Δy²) to mierzony odcinek. Takie ujęcie wyjaśnia też, dlaczego znaki nie mają znaczenia: przyprostokątne są podnoszone do kwadratu.

Środek odcinka jest jeszcze prostszy i jest średnią współrzędnych branych osobno: x środka to średnia obu x, y to średnia obu y. Nie ma żadnego pierwiastka, a wynik jest dokładny nawet wtedy, gdy odległość jest niewymierna. Warto to zauważyć: dwa punkty o współrzędnych całkowitych mają prawie zawsze wymierny środek i niewymierną odległość.

Składowe Δx i Δy są podawane, bo stanowią właściwą treść geometryczną obliczenia: razem tworzą wektor prowadzący od P₁ do P₂, a z nich wynikają nachylenie odcinka, jego kierunek i każde przesunięcie, o które zadanie poprosi później.

Częste błędy

Dodawanie współrzędnych zamiast odejmowania w odległości: wzór korzysta z różnic, a przy punktach w pierwszej ćwiartce błąd i tak daje liczbę dodatnią i wiarygodną.
Mylenie środka odcinka z odległością przez dzielenie odległości na pół: środek to para współrzędnych, a nie długość. Połowa odległości to odległość środka od każdego końca, co jest czymś innym.
Pomyłki ze znakami przy współrzędnych ujemnych: −3 − (−7) daje +4, a nie −10. To krok, na którym przepada najwięcej zadań z geometrii analitycznej.

Najczęstsze pytania

Jaki jest wzór na odległość między dwoma punktami?

d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). To twierdzenie Pitagorasa zastosowane do trójkąta, którego przyprostokątnymi są różnice odciętych i rzędnych. Ponieważ różnice są podnoszone do kwadratu, kolejność punktów nie wpływa na wynik.

Jak obliczyć współrzędne środka odcinka?

Bierze się średnią odpowiadających sobie współrzędnych: xM = (x₁ + x₂)/2 oraz yM = (y₁ + y₂)/2. Środek leży zawsze na prostej łączącej końce i jest oddalony od każdego z nich o połowę długości odcinka.

Czy odległość może wyjść ujemna?

Nigdy. To pierwiastek z sumy kwadratów, więc jest zerem albo liczbą dodatnią. Ujemny wynik oznacza błąd znaku albo pominięcie podnoszenia do kwadratu jednej z różnic.

Jak działa to obliczenie

Składowe: Δx = x₂ − x₁, Δy = y₂ − y₁. Odległość: d = √(Δx² + Δy²). Środek odcinka: M = ((x₁+x₂)/2; (y₁+y₂)/2). Nachylenie odcinka: m = Δy/Δx, nieokreślone gdy Δx = 0. Kierunek: θ = atan2(Δy; Δx), mierzony od P₁ w stronę P₂ i podawany w [0°; 360°). Punkt symetryczny do P₁ względem P₂: P′ = (2x₂ − x₁; 2y₂ − y₁), czyli punkt, dla którego P₂ jest środkiem odcinka z P₁.

Prosta przez dwa punkty

Równanie prostej w postaci kierunkowej i ogólnej, współczynnik kierunkowy i punkty przecięcia.

Krzywe stożkowe

Rozpoznaje krzywą z równania ogólnego i wyznacza środek, ogniska, osie, mimośród, asymptoty i postać kanoniczną.

Rachunek wektorowy

Iloczyn skalarny i wektorowy, kąt między wektorami, rzut i pola.