Geometria analitica
Studio delle coniche dall'equazione
Inserisci i sei coefficienti di Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0: la calcolatrice riconosce di che conica si tratta e ne ricava centro o vertice, fuochi, assi, eccentricità, asintoti e forma canonica, disegnandola in scala.
Riconoscere una conica dall'equazione
Ogni equazione di secondo grado in due incognite descrive una conica, e quale sia lo dice un solo numero: il discriminante B² − 4AC. Se è negativo la curva è chiusa — un'ellisse, o una circonferenza quando A = C e B = 0; se è nullo è una parabola; se è positivo è un'iperbole. Questo è il primo passo di qualunque esercizio di studio delle coniche, e si fa a mente prima di toccare qualsiasi altra formula.
Il secondo numero da guardare è il determinante della matrice 3×3 dei coefficienti. Quando si annulla il polinomio si fattorizza e la conica degenera: al posto di un'ellisse resta il solo centro, al posto di un'iperbole restano le due rette che ne erano gli asintoti, al posto di una parabola due rette parallele. Sono casi legittimi e vanno riconosciuti, non scambiati per curve schiacciate.
Trovata la specie, il resto discende dalla forma canonica, cioè dall'equazione scritta prendendo come assi quelli della conica stessa. Per le coniche a centro si trova prima il centro — il punto in cui entrambe le derivate parziali si annullano — poi si traslano lì gli assi; se c'è il termine in xy si ruotano anche, di un angolo che si ricava da tan 2θ = B/(A − C). Su quegli assi l'equazione ha solo i quadrati, e semiassi, fuochi ed eccentricità si leggono direttamente.
Errori frequenti
- Portare l'equazione nella forma richiesta dimenticando di cambiare segno: y = x² − 4x + 3 diventa x² − 4x − y + 3 = 0, con E = −1 e non +1.
- Confondere il semiasse maggiore con quello che moltiplica x²: in x²/9 + y²/25 = 1 il semiasse maggiore è 5 e sta sull'asse y, non 3.
- Cercare i fuochi di una parabola sull'asse sbagliato: la parabola ha un solo fuoco, sul proprio asse di simmetria, e la direttrice sta dalla parte opposta del vertice a pari distanza.
- Dare per scontato che l'eccentricità di un'iperbole stia fra 0 e 1: è sempre maggiore di 1, ed è l'ellisse ad avere e < 1.
Domande frequenti
Come si capisce subito se è un'ellisse, una parabola o un'iperbole?
Dal segno di B² − 4AC. Negativo: ellisse o circonferenza. Nullo: parabola. Positivo: iperbole. Il calcolo non richiede di trovare il centro né di ruotare nulla, e per questo è sempre il primo passo.
Che cosa vuol dire che una conica è degenere?
Che il polinomio di secondo grado si fattorizza, e l'insieme dei punti che lo annullano non è più una curva ma un punto, una coppia di rette, oppure l'insieme vuoto. Si riconosce dal determinante della matrice 3×3 dei coefficienti: quando è nullo, la conica è degenere.
A cosa serve il termine in xy?
Inclina la conica rispetto agli assi cartesiani. Senza di lui gli assi della curva sono paralleli a quelli del piano; con lui formano un angolo θ dato da tan 2θ = B/(A − C). L'esempio più semplice è xy = 1, che è un'iperbole equilatera ruotata di 45°.
Perché l'eccentricità della circonferenza è zero?
Perché l'eccentricità misura quanto l'ellisse si allontana dalla forma circolare: vale c/a, dove c è la distanza dal centro a un fuoco. Nella circonferenza i due fuochi coincidono con il centro, quindi c = 0 ed e = 0. Per l'ellisse 0 < e < 1, per la parabola e = 1, per l'iperbole e > 1.
Gli asintoti valgono anche per l'ellisse?
No: gli asintoti sono rette a cui la curva si avvicina indefinitamente senza toccarle, e solo l'iperbole ne ha. L'ellisse è limitata, sta tutta dentro un rettangolo di lati 2a e 2b, e non si avvicina a nessuna retta.
Come funziona questo calcolo
Dalla forma generale Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 si costruiscono la matrice completa M, di righe (A, B/2, D/2), (B/2, C, E/2), (D/2, E/2, F), e la sua sottomatrice A₃₃ delle prime due righe e colonne. Il segno di det A₃₃, cioè di −(B² − 4AC)/4, dà la specie; det M = 0 dà la degenerazione. Per le coniche a centro il centro risolve 2Ax + By + D = 0 e Bx + 2Cy + E = 0, gli autovalori λ₁ e λ₂ di A₃₃ sono i coefficienti dei quadrati nella forma canonica λ₁X² + λ₂Y² + det M/det A₃₃ = 0, e i semiassi al quadrato valgono −(det M/det A₃₃)/λ. L'angolo di rotazione è metà dell'argomento di (A − C, B). Per la parabola un autovalore è nullo: si ruota, si completa il quadrato sull'altra variabile e si ottiene X² = 4pY, con p distanza fra vertice e fuoco.
Calcoli collegati
Retta per due punti
Equazione della retta in forma esplicita e implicita, coefficiente angolare e intercette.
Distanza e punto medio
Distanza fra due punti del piano cartesiano e coordinate del punto medio del segmento.
Calcolo vettoriale
Prodotto scalare e vettoriale, angolo fra due vettori, proiezione e aree.