Geometria analítica
Distância entre dois pontos e ponto médio
Dois pares de coordenadas dão na hora o comprimento do segmento e o seu ponto médio, além das componentes do vetor que une os dois pontos.
Distância e ponto médio: duas fórmulas, um triângulo
A distância entre dois pontos não é uma fórmula nova: é o teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo retângulo cujos catetos são as diferenças das coordenadas. Δx = x₂ − x₁ é o cateto horizontal, Δy = y₂ − y₁ o vertical, e a hipotenusa √(Δx² + Δy²) é o segmento que você está medindo. Ver assim também explica por que os sinais não importam: os catetos são elevados ao quadrado.
O ponto médio é ainda mais simples, e é a média das coordenadas tomadas separadamente: o x do ponto médio é a média dos dois x, o y é a média dos dois y. Não há raiz quadrada, e a resposta é exata mesmo quando a distância é irracional. É uma diferença que vale notar: dois pontos com coordenadas inteiras quase sempre têm ponto médio racional e distância irracional.
As componentes Δx e Δy aparecem porque são o verdadeiro conteúdo geométrico do cálculo: juntas formam o vetor que leva de P₁ a P₂, e delas saem o coeficiente angular do segmento, a sua direção e toda translação que o exercício vai pedir depois.
Erros frequentes
- Somar as coordenadas em vez de subtraí-las na distância: a fórmula usa diferenças, e com pontos no primeiro quadrante o erro ainda devolve um número positivo e plausível.
- Confundir ponto médio e distância, dividindo a distância por dois: o ponto médio é um par de coordenadas, não um comprimento. Metade da distância é quanto o ponto médio dista de cada extremo, que é outra coisa.
- Errar os sinais com coordenadas negativas: −3 − (−7) é +4, não −10. É o passo em que se perde a maioria dos exercícios de geometria analítica.
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula da distância entre dois pontos?
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). É o teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo cujos catetos são as diferenças dos x e dos y. Como as diferenças são elevadas ao quadrado, a ordem dos pontos não afeta o resultado.
Como se calculam as coordenadas do ponto médio?
Faça a média das coordenadas correspondentes: xM = (x₁ + x₂)/2 e yM = (y₁ + y₂)/2. O ponto médio sempre está na reta que passa pelos extremos e fica a meio comprimento do segmento de cada um.
A distância pode dar negativa?
Nunca. É a raiz quadrada de uma soma de quadrados, então é zero ou positiva. Se você obteve um número negativo, há um erro de sinal ou você esqueceu de elevar ao quadrado uma das diferenças.
Como funciona este cálculo
Componentes: Δx = x₂ − x₁, Δy = y₂ − y₁. Distância: d = √(Δx² + Δy²). Ponto médio: M = ((x₁+x₂)/2; (y₁+y₂)/2). Coeficiente angular do segmento: m = Δy/Δx, indefinido quando Δx = 0. Direção: θ = atan2(Δy; Δx), medida de P₁ para P₂ e dada em [0°; 360°). Simétrico de P₁ em relação a P₂: P′ = (2x₂ − x₁; 2y₂ − y₁), o ponto que tem P₂ como ponto médio com P₁.
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