Matematica
Calcolatrice di derivate: risultato e regole applicate
Scrivi la funzione e ottieni la derivata semplificata. Sotto il risultato trovi il nome delle regole che sono servite, che è quello che ti permette di ricontrollare il tuo procedimento invece di fidarti del numero.
La derivata è una regola sola, applicata pezzo per pezzo
Derivare una funzione complicata non richiede una formula complicata: richiede di riconoscere di che cosa è fatta. Una somma si deriva termine per termine, un prodotto con la sua regola, un quoziente con la sua, e ogni volta che una funzione ne racchiude un'altra si applica la catena. Il lavoro vero è la scomposizione, non il calcolo: quasi tutti gli errori nascono dall'aver trattato come prodotto qualcosa che era una composizione, o viceversa.
Per questo la calcolatrice non si limita al risultato ma elenca le regole che ha usato. Se per la tua funzione dice «prodotto, catena, goniometriche» e tu nel tuo svolgimento la catena non l'hai mai applicata, sai già dove guardare senza dover confrontare due espressioni carattere per carattere. È il modo in cui un risultato calcolato può insegnare qualcosa invece di sostituirsi al ragionamento.
Il risultato arriva semplificato, ma la forma può non essere quella a cui sei arrivato tu. Raccogliere, sviluppare o mettere a denominatore comune non cambia la funzione, e due scritture diverse restano la stessa derivata. Se hai un dubbio, il controllo più rapido è numerico: calcola entrambe in un paio di punti e confronta.
Errori frequenti
- Dimenticare il fattore della regola della catena. La derivata di sin(2x) è 2·cos(2x), non cos(2x): il 2 viene da dentro.
- Derivare un prodotto moltiplicando le due derivate. La regola è f′g + fg′, non f′g′.
- Applicare la regola della potenza quando l'esponente contiene la variabile. Per x^x o per 2^x servono i logaritmi.
- Trattare come costante qualcosa che dipende dalla variabile, o il contrario. Se una lettera diversa da quella di derivazione compare nella funzione, viene trattata come costante: controlla di avere indicato la variabile giusta.
Domande frequenti
Quando serve la regola della catena?
Ogni volta che una funzione ne contiene un'altra: in sin(x²) il seno è applicato a x², non a x. Si deriva la funzione esterna lasciando dentro l'argomento e si moltiplica per la derivata di ciò che sta dentro. Dimenticare quel fattore è l'errore più frequente in assoluto.
Perché la derivata di x^x non si fa con la regola della potenza?
Perché quella regola vale quando l'esponente è costante, e qui la x compare sia nella base sia nell'esponente. Si passa ai logaritmi: si scrive x^x = e^(x·ln x) e si deriva quella. È la derivazione logaritmica, e la calcolatrice te la segnala quando la usa.
La derivata seconda a cosa serve?
Dice come cambia la pendenza: dove è positiva la funzione volge la concavità verso l'alto, dove è negativa verso il basso, e dove si annulla cambiando segno c'è un flesso. È il pezzo che serve per lo studio di funzione dopo aver trovato i massimi e i minimi.
Il risultato è diverso dal mio: ho sbagliato?
Non necessariamente. La stessa derivata si può scrivere in forme diverse, per esempio raccogliendo o sviluppando. Prova a confrontare i valori numerici in qualche punto: se coincidono, le due scritture sono la stessa funzione.
Che notazione usa per le potenze e le radici?
Puoi scrivere x^2 oppure x², sqrt(x) oppure x^(1/2): il risultato le tratta allo stesso modo e le stampa nella forma più leggibile. Per il logaritmo naturale vanno bene sia ln(x) sia log(x).
Come funziona questo calcolo
Somma: (f + g)′ = f′ + g′. Prodotto: (f·g)′ = f′g + fg′. Quoziente: (f/g)′ = (f′g − fg′)/g². Catena: [f(g(x))]′ = f′(g(x))·g′(x). Potenza con esponente costante: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Esponenziale: (e^u)′ = e^u·u′ e (a^u)′ = a^u·ln(a)·u′. Logaritmo: (ln u)′ = u′/u. Goniometriche: (sin u)′ = cos(u)·u′, (cos u)′ = −sin(u)·u′, (tan u)′ = u′/cos²(u). Inverse: (arctan u)′ = u′/(1+u²), (arcsin u)′ = u′/√(1−u²). Radice: (√u)′ = u′/(2√u). Quando la variabile compare sia nella base sia nell'esponente si usa la derivazione logaritmica: f^g = e^(g·ln f), da cui (f^g)′ = f^g·(g·ln f)′.
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