Matematica
Asintoti di una funzione: verticali, orizzontali, obliqui
Scrivi la funzione e ottieni i suoi asintoti, ciascuno con il limite che lo dimostra, tracciati tratteggiati sul grafico: le rette a cui la curva si avvicina senza mai fermarcisi sopra.
Tre tipi di asintoto, e il limite dietro ciascuno
Un asintoto è una retta a cui il grafico si avvicina quanto si vuole mentre corre verso l'infinito. Ce ne sono di tre tipi, e ognuno si trova con un limite: per questo gli asintoti vengono subito dopo i limiti in ogni studio di funzione.
Un asintoto verticale x = a compare dove la funzione esplode in un punto finito: almeno uno dei limiti laterali in a vale +∞ o −∞. Si cerca nei punti esclusi dal dominio, tipicamente gli zeri di un denominatore. Non tutti i punti esclusi ne danno uno: (x² − 4)/(x − 2) tende a 4 per x → 2, e lì il grafico ha solo un buco.
Un asintoto orizzontale y = L compare quando f(x) tende a un valore finito L per x → +∞ o per x → −∞. Se invece il limite è infinito, può esserci un asintoto obliquo y = mx + q: la pendenza è m = lim f(x)/x, che deve essere finita e diversa da zero, e l'intercetta è q = lim (f(x) − mx). Per una funzione razionale succede esattamente quando il numeratore ha grado uno in più del denominatore.
Errori frequenti
- Chiamare asintoto verticale ogni zero del denominatore senza calcolare il limite: se lì si annulla anche il numeratore, il punto può essere un buco eliminabile.
- Prendere q = lim f(x) invece di q = lim (f(x) − mx). L'intercetta si calcola dopo la pendenza, e dipende da essa.
- Dare per scontato che l'asintoto per x → +∞ sia anche quello per x → −∞. eˣ ha y = 0 solo a sinistra, e √(x² + 1) ha y = x a destra e y = −x a sinistra.
- Credere che un grafico non possa mai attraversare il suo asintoto. Può farlo, anche infinite volte: sin x / x attraversa y = 0 in ogni multiplo di π.
Domande frequenti
Come trovo gli asintoti verticali?
Prendi i punti esclusi dal dominio, di solito dove si annulla un denominatore, e calcola lì i limiti laterali. Se almeno uno vale +∞ o −∞, la retta x = a è un asintoto verticale.
Come trovo un asintoto obliquo?
Solo dove lim f(x) è infinito per x → ±∞. Calcola m = lim f(x)/x: se è finito e diverso da zero, calcola q = lim (f(x) − mx). Se anche q è finito, y = mx + q è l'asintoto obliquo.
Una funzione può avere un asintoto orizzontale e uno obliquo?
Non dalla stessa parte: per x → +∞ ne ha uno, l'altro o nessuno. Da parti opposte sì, come una funzione che a sinistra si appiattisce e a destra corre lungo una retta inclinata.
Quali funzioni razionali hanno un asintoto obliquo?
Quelle in cui il numeratore ha grado esattamente uno in più del denominatore. La divisione tra i polinomi dà il quoziente mx + q, che è l'asintoto, e un resto che tende a zero.
Come funziona questo calcolo
Asintoto verticale x = a: lim x→a⁻ f(x) = ±∞ oppure lim x→a⁺ f(x) = ±∞, cercato negli estremi finiti del dominio. Asintoto orizzontale y = L: lim x→+∞ f(x) = L oppure lim x→−∞ f(x) = L, con L finito. Asintoto obliquo y = mx + q, per x → +∞ o per x → −∞: m = lim f(x)/x, finito e diverso da zero, e q = lim (f(x) − mx), finito. Da una stessa parte una funzione ha al massimo un asintoto orizzontale o obliquo. Ogni limite è calcolato numericamente e scritto in forma esatta quando viene riconosciuto.
Calcoli collegati
Studio di funzione
Dominio, segno, limiti, asintoti, massimi e minimi, concavità e grafico, tutto insieme.
Dominio di una funzione
Le condizioni di esistenza e il dominio scritto come unione di intervalli.
Limiti
Limiti destro, sinistro e all'infinito, con la forma indeterminata di partenza.
Derivate
Derivata di una funzione e regole usate per ottenerla.