Matemáticas
Calculadora de derivadas: resultado y reglas aplicadas
Escribe la función y obtén la derivada simplificada. Bajo el resultado aparecen los nombres de las reglas que han hecho falta, que es lo que te permite revisar tu propio desarrollo en vez de fiarte del resultado.
Derivar es una sola idea aplicada pieza a pieza
Derivar una función complicada no exige una fórmula complicada: exige reconocer de qué está hecha. Una suma se deriva término a término, un producto con su regla, un cociente con la suya, y cada vez que una función encierra a otra se aplica la cadena. El trabajo está en la descomposición, no en el cálculo: casi todos los errores nacen de tratar como producto algo que era una composición, o al revés.
Por eso esta calculadora enumera las reglas que ha usado y no solo el resultado. Si para tu función dice «producto, cadena, trigonométricas» y en tu desarrollo nunca aplicaste la cadena, ya sabes dónde mirar sin comparar dos expresiones carácter a carácter. Es la manera de que un resultado calculado enseñe algo en lugar de sustituir al razonamiento.
El resultado llega simplificado, pero puede no tener la forma a la que llegaste tú. Sacar factor común, desarrollar o poner denominador común no cambia la función, y dos escrituras distintas siguen siendo la misma derivada. Ante la duda, la comprobación más rápida es numérica: evalúa ambas en un par de puntos y compara.
Errores frecuentes
- Olvidar el factor de la regla de la cadena. La derivada de sin(2x) es 2·cos(2x), no cos(2x): el 2 viene de dentro.
- Derivar un producto multiplicando las dos derivadas. La regla es f′g + fg′, no f′g′.
- Aplicar la regla de la potencia cuando el exponente contiene la variable. Para x^x o 2^x hacen falta logaritmos.
- Tratar como constante algo que depende de la variable, o al revés. Cualquier letra distinta de la de derivación se toma como constante: comprueba que has indicado la variable correcta.
Preguntas frecuentes
¿Cuándo hace falta la regla de la cadena?
Siempre que una función contiene a otra: en sin(x²) el seno se aplica a x², no a x. Se deriva la función externa dejando el argumento como está y se multiplica por la derivada de lo que hay dentro. Olvidar ese factor es el error más frecuente que existe.
¿Por qué la regla de la potencia no vale para x^x?
Porque esa regla sirve cuando el exponente es constante, y aquí la x aparece en la base y en el exponente. Se pasa por logaritmos: se escribe x^x = e^(x·ln x) y se deriva eso. Es la derivación logarítmica, y la calculadora te avisa cuando la usa.
¿Para qué sirve la derivada segunda?
Dice cómo cambia la pendiente: donde es positiva la curva es cóncava hacia arriba, donde es negativa hacia abajo, y donde se anula cambiando de signo hay un punto de inflexión. Es lo que hace falta tras encontrar los máximos y los mínimos.
Mi resultado es distinto, ¿me he equivocado?
No necesariamente. La misma derivada se puede escribir de varias formas, sacando factor común o desarrollando. Compara los valores numéricos en un par de puntos: si coinciden, las dos escrituras son la misma función.
¿Qué notación acepta para potencias y raíces?
Puedes escribir x^2 o x², sqrt(x) o x^(1/2): las trata igual e imprime la forma más legible. Para el logaritmo natural valen tanto ln(x) como log(x).
Cómo funciona este cálculo
Suma: (f + g)′ = f′ + g′. Producto: (f·g)′ = f′g + fg′. Cociente: (f/g)′ = (f′g − fg′)/g². Cadena: [f(g(x))]′ = f′(g(x))·g′(x). Potencia de exponente constante: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Exponencial: (e^u)′ = e^u·u′ y (a^u)′ = a^u·ln(a)·u′. Logaritmo: (ln u)′ = u′/u. Trigonométricas: (sin u)′ = cos(u)·u′, (cos u)′ = −sin(u)·u′, (tan u)′ = u′/cos²(u). Inversas: (arctan u)′ = u′/(1+u²), (arcsin u)′ = u′/√(1−u²). Raíz: (√u)′ = u′/(2√u). Cuando la variable aparece en la base y en el exponente se usa la derivación logarítmica: f^g = e^(g·ln f), de donde (f^g)′ = f^g·(g·ln f)′.
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