Mathematik
Ableitungsrechner: Ergebnis und angewandte Regeln
Schreib die Funktion und erhalte die vereinfachte Ableitung. Unter dem Ergebnis stehen die Namen der Regeln, die nötig waren — damit lässt sich der eigene Rechenweg prüfen, statt dem Ergebnis zu vertrauen.
Ableiten ist eine Idee, Stück für Stück angewandt
Eine komplizierte Funktion abzuleiten verlangt keine komplizierte Formel, sondern zu erkennen, woraus sie besteht. Eine Summe geht Term für Term, ein Produkt nach seiner Regel, ein Quotient nach seiner, und wo eine Funktion eine andere umschließt, greift die Kettenregel. Die Arbeit liegt im Zerlegen, nicht im Rechnen: fast jeder Fehler entsteht daraus, eine Verkettung für ein Produkt zu halten oder umgekehrt.
Deshalb nennt dieser Rechner die verwendeten Regeln und nicht nur das Ergebnis. Steht dort „Produkt, Kette, trigonometrisch" und in deinem Weg kam die Kettenregel nie vor, weißt du, wo zu suchen ist, ohne zwei Ausdrücke Zeichen für Zeichen zu vergleichen. So kann ein berechnetes Ergebnis etwas beibringen, statt das Denken zu ersetzen.
Das Ergebnis kommt vereinfacht, aber nicht unbedingt in der Form, auf die du gekommen bist. Ausklammern, Ausmultiplizieren oder Gleichnamigmachen ändert die Funktion nicht, und zwei Schreibweisen bleiben dieselbe Ableitung. Im Zweifel ist die schnellste Probe numerisch: beide an zwei Stellen auswerten und vergleichen.
Häufige Fehler
- Den Faktor der Kettenregel weglassen. Die Ableitung von sin(2x) ist 2·cos(2x), nicht cos(2x): die 2 kommt von innen.
- Ein Produkt ableiten, indem man die beiden Ableitungen multipliziert. Die Regel ist f′g + fg′, nicht f′g′.
- Die Potenzregel benutzen, wenn im Exponenten die Variable steht. Für x^x oder 2^x braucht es Logarithmen.
- Etwas als konstant behandeln, das von der Variablen abhängt, oder umgekehrt. Jeder andere Buchstabe gilt als Konstante — prüfe, ob die richtige Variable eingetragen ist.
Häufige Fragen
Wann braucht man die Kettenregel?
Immer wenn eine Funktion in einer anderen steckt: in sin(x²) wirkt der Sinus auf x², nicht auf x. Man leitet die äußere Funktion ab, lässt das Argument stehen, und multipliziert mit der Ableitung des Inneren. Diesen Faktor zu vergessen ist der mit Abstand häufigste Fehler.
Warum gilt die Potenzregel für x^x nicht?
Weil sie einen konstanten Exponenten voraussetzt, und hier steht x in der Basis und im Exponenten. Man geht über Logarithmen: x^x = e^(x·ln x), und das wird abgeleitet. Das ist logarithmisches Ableiten, und der Rechner sagt, wenn er es benutzt hat.
Wozu dient die zweite Ableitung?
Sie sagt, wie sich die Steigung ändert: wo sie positiv ist, ist die Kurve linksgekrümmt, wo negativ rechtsgekrümmt, und wo sie mit Vorzeichenwechsel null wird, liegt ein Wendepunkt. Sie ist der Teil, der nach Hoch- und Tiefpunkten gebraucht wird.
Mein Ergebnis sieht anders aus — ist es falsch?
Nicht unbedingt. Dieselbe Ableitung lässt sich verschieden schreiben, ausgeklammert oder ausmultipliziert. Vergleiche die Zahlenwerte an ein paar Stellen: stimmen sie überein, sind es zwei Schreibweisen derselben Funktion.
Welche Schreibweise nimmt er für Potenzen und Wurzeln?
x^2 oder x², sqrt(x) oder x^(1/2): beides wird gleich behandelt und in der lesbareren Form ausgegeben. Für den natürlichen Logarithmus sind ln(x) und log(x) beide zulässig.
Wie diese Berechnung funktioniert
Summe: (f + g)′ = f′ + g′. Produkt: (f·g)′ = f′g + fg′. Quotient: (f/g)′ = (f′g − fg′)/g². Kette: [f(g(x))]′ = f′(g(x))·g′(x). Potenz mit konstantem Exponenten: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Exponential: (e^u)′ = e^u·u′ und (a^u)′ = a^u·ln(a)·u′. Logarithmus: (ln u)′ = u′/u. Trigonometrisch: (sin u)′ = cos(u)·u′, (cos u)′ = −sin(u)·u′, (tan u)′ = u′/cos²(u). Umkehrfunktionen: (arctan u)′ = u′/(1+u²), (arcsin u)′ = u′/√(1−u²). Wurzel: (√u)′ = u′/(2√u). Steht die Variable in Basis und Exponent, gilt logarithmisches Ableiten: f^g = e^(g·ln f), also (f^g)′ = f^g·(g·ln f)′.
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