Calcolo dei limiti online: destro, sinistro e forme indeterminate

Che cosa dice un limite, e a che cosa servono le forme indeterminate

Il limite di f(x) per x che tende ad a è il valore a cui f(x) si avvicina quando x si avvicina ad a, qualunque cosa succeda in a stesso. La funzione non deve nemmeno essere definita lì: sin x / x non si può calcolare in 0, eppure i suoi valori si avvicinano a 1 da entrambe le parti. È questo il senso di un limite: descrive l'avvicinamento, non l'arrivo.

Avvicinarsi da sinistra e da destra sono due domande distinte. Quando danno lo stesso valore, quello è il limite; quando differiscono, il limite non esiste. 1/x vicino a 0 va a −∞ da sinistra e a +∞ da destra, che è esattamente la firma di un asintoto verticale. A ±∞ c'è una sola parte da cui arrivare.

Una forma indeterminata non è una risposta ma un avvertimento: sostituire il punto non dice niente. 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0 · ∞, 1^∞, 0⁰ e ∞⁰ possono finire in qualsiasi valore, e il lavoro consiste nel riscrivere l'espressione finché la forma sparisce: scomporre, razionalizzare, usare un limite notevole o il teorema di de l'Hôpital. La forma indicata qui dice che tipo di trasformazione serve.

Errori frequenti

Leggere 0/0 come 0 o come 1. È una forma, non un numero: (x² − 1)/(x − 1) tende a 2 per x → 1, sin x / x a 1 e x²/x a 0.
Trattare 1^∞ come 1. (1 + 1/x)^x tende a e, non a 1, perché la base si avvicina a 1 esattamente con la stessa rapidità con cui cresce l'esponente.
Dare un limite dove i limiti laterali sono diversi: il limite per x → 0 di 1/x non esiste, perché le due parti vanno a −∞ e a +∞.
Concludere che un limite non esiste perché la funzione non è definita nel punto: il limite guarda solo i valori vicini.

Domande frequenti

Quando un limite non esiste?

Quando il limite sinistro e il limite destro sono diversi, come per 1/x in 0, oppure quando la funzione continua a oscillare senza assestarsi, come sin(1/x) vicino a 0 o sin x all'infinito.

Quali sono le forme indeterminate?

0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0 · ∞, 1^∞, 0⁰ e ∞⁰. Sostituendo il punto si ottiene una di queste, che non dice niente sul limite: l'espressione va riscritta finché la forma sparisce.

Quanto vale il limite di sin x / x per x che tende a 0?

1. È il primo dei limiti notevoli ed è una forma 0/0: il seno di un angolo piccolo è quasi uguale all'angolo stesso, quindi il rapporto si avvicina a 1 da entrambe le parti.

Come calcola il limite questa calcolatrice?

Valuta la funzione in punti sempre più vicini a quello richiesto e legge il limite dove i valori smettono di cambiare, prima che intervenga l'errore di arrotondamento. Un valore che si assesta è scritto in forma esatta quando viene riconosciuto — 1/2, e, √2 — e uno che continua a crescere è indicato come ±∞.

Come funziona questo calcolo

lim x→a f(x) = L quando f(x) si avvicina quanto si vuole a L per x che si avvicina ad a, escluso a. Limite sinistro: x → a⁻, con x < a; destro: x → a⁺, con x > a. Il limite esiste quando esistono entrambi i limiti laterali e coincidono. Limiti notevoli: lim x→0 sin x / x = 1, lim x→0 (1 − cos x)/x² = 1/2, lim x→0 (eˣ − 1)/x = 1, lim x→0 ln(1 + x)/x = 1, lim x→±∞ (1 + 1/x)^x = e. Numericamente f è valutata in a ± h con h = 10^(−k/2), k = 2, 3, …, 20, oppure in x = ±10^(k/2) verso l'infinito; il limite è letto dove le differenze tra valori consecutivi smettono di ridursi.

Studio di funzione

Dominio, segno, limiti, asintoti, massimi e minimi, concavità e grafico, tutto insieme.

Dominio di una funzione

Le condizioni di esistenza e il dominio scritto come unione di intervalli.

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Derivate

Derivata di una funzione e regole usate per ottenerla.