Dominio di una funzione online, con le condizioni

Dove una funzione si può calcolare, e dove no

Il dominio di una funzione, o campo di esistenza, è l'insieme dei numeri reali per cui l'espressione dà un numero reale. Non è una proprietà da indovinare ma un elenco di condizioni da scrivere: ogni parte dell'espressione che può fallire ne impone una, e il dominio è dove valgono tutte insieme. È un sistema, non una disequazione sola.

Le parti che possono fallire sono quattro. Un denominatore non deve annullarsi. Il radicando di una radice quadrata, o di qualsiasi radice di indice pari, non deve essere negativo. L'argomento di un logaritmo deve essere strettamente positivo: ln 0 non esiste, e nemmeno il logaritmo di un numero negativo. L'argomento di arcoseno e arcocoseno deve stare tra −1 e 1. Le radici di indice dispari, gli esponenziali, seno, coseno e i polinomi non impongono nessuna condizione.

Le parentesi portano la differenza tra ≥ e >. Il radicando di √(x − 2) può annullarsi, quindi 2 appartiene al dominio e la parentesi è quadra: [2; +∞). L'argomento di ln(x − 2) no, quindi 2 è escluso e la parentesi è tonda: (2; +∞). L'infinito vuole sempre la parentesi tonda, perché non è un numero in cui si possa calcolare la funzione.

Errori frequenti

Scrivere ≥ 0 per una radice al denominatore: in 1/√x il radicando non può nemmeno annullarsi, quindi la condizione è x > 0.
Semplificare prima di trovare il dominio. (x² − 4)/(x − 2) si semplifica in x + 2, ma la funzione di partenza non è definita in x = 2, e quel punto resta fuori dal dominio.
Porre una condizione su una radice di indice dispari. ∛x è definita per ogni x reale, numeri negativi compresi: ∛(−8) = −2.
Risolvere le condizioni separatamente e farne l'unione invece dell'intersezione: x deve soddisfarle tutte contemporaneamente.

Domande frequenti

Come si trova il dominio di una funzione?

Si scrive una condizione per ogni parte dell'espressione che può fallire — denominatori ≠ 0, radicandi di radici di indice pari ≥ 0, argomenti dei logaritmi > 0, argomenti di arcoseno e arcocoseno tra −1 e 1 — e si risolvono a sistema. Il dominio è l'insieme degli x che le soddisfano tutte.

Qual è il dominio di un polinomio?

Tutto l'insieme dei numeri reali, ℝ: un polinomio è fatto solo di somme e prodotti, che si possono sempre calcolare. Lo stesso vale per esponenziali, seno, coseno e radici di indice dispari.

Quando la parentesi è tonda e quando quadra?

Quadra quando l'estremo appartiene al dominio, tonda quando no. Lo zero di un radicando è incluso, lo zero di un denominatore o dell'argomento di un logaritmo no, e ±∞ vuole sempre la parentesi tonda.

Perché il dominio di tan x non è tutto ℝ?

Perché tan x = sin x / cos x, e cos x si annulla in π/2 e in ogni suo multiplo dispari. Il dominio è ogni numero reale tranne x = π/2 + kπ, con k intero.

Come funziona questo calcolo

Condizioni di esistenza: per a/b, b ≠ 0; per una radice di indice pari ⁿ√a, a ≥ 0 (a > 0 se la radice è al denominatore); per ln a e per i logaritmi in qualsiasi base, a > 0; per arcsin a e arccos a, −1 ≤ a ≤ 1; per tan a, cos a ≠ 0; per una potenza con esponente variabile, base positiva. Le condizioni sono risolte numericamente su una griglia fitta, e ogni estremo è incluso o escluso secondo la sua condizione: un radicando può arrivare a zero e l'argomento di un arcoseno a ±1, un denominatore e l'argomento di un logaritmo no. Ogni estremo è poi scritto in forma esatta quando è una frazione, una radice, un multiplo di π o la soluzione di un'equazione di secondo grado.

Studio di funzione

Dominio, segno, limiti, asintoti, massimi e minimi, concavità e grafico, tutto insieme.

Limiti

Limiti destro, sinistro e all'infinito, con la forma indeterminata di partenza.

Asintoti

Asintoti verticali, orizzontali e obliqui, con i limiti che li dimostrano.

Derivate

Derivata di una funzione e regole usate per ottenerla.