Matemática
Calculadora de derivadas: a resposta e as regras por trás
Escreva a função e obtenha a derivada simplificada. Abaixo do resultado aparecem os nomes das regras usadas, que é o que permite conferir o seu próprio desenvolvimento em vez de confiar na resposta.
Derivar é uma ideia só, aplicada peça por peça
Derivar uma função complicada não exige uma fórmula complicada: exige reconhecer do que a função é feita. Uma soma vai termo a termo, um produto tem a sua regra, um quociente a dele, e onde uma função envolve outra aplica-se a regra da cadeia. O trabalho está na decomposição, não na conta — quase todo erro vem de tratar uma composição como produto, ou o contrário.
É por isso que esta calculadora lista as regras usadas, e não só a resposta. Se ela informa “produto, regra da cadeia, trigonométrica” para a sua função e o seu desenvolvimento nunca aplicou a regra da cadeia, você sabe onde procurar sem comparar duas expressões caractere por caractere. É assim que uma resposta calculada pode ensinar alguma coisa em vez de substituir o raciocínio.
O resultado volta simplificado, mas não necessariamente na forma a que você chegou. Fatorar, expandir ou pôr os termos sobre um denominador comum não muda a função, e duas grafias continuam sendo a mesma derivada. Na dúvida, a verificação mais rápida é numérica: calcule as duas em alguns pontos e compare.
Erros frequentes
- Esquecer o fator da regra da cadeia. A derivada de sin(2x) é 2·cos(2x), não cos(2x): o 2 vem de dentro.
- Derivar um produto multiplicando as duas derivadas. A regra é f′g + fg′, não f′g′.
- Usar a regra da potência quando o expoente contém a variável. x^x e 2^x precisam de logaritmos.
- Tratar como constante algo que depende da variável, ou o contrário. Qualquer letra diferente daquela em relação à qual você deriva é tratada como constante, então confira se indicou a variável certa.
Perguntas frequentes
Quando a regra da cadeia é necessária?
Sempre que uma função está dentro de outra: em sin(x²) o seno se aplica a x², não a x. Deriva-se a função de fora deixando o argumento como está e multiplica-se pela derivada do que está dentro. Esquecer esse fator é o erro mais comum que existe.
Por que a regra da potência não funciona para x^x?
Porque essa regra vale quando o expoente é constante, e aqui x aparece na base e no expoente. Passa-se pelos logaritmos: escreve-se x^x = e^(x·ln x) e deriva-se isso. Chama-se derivação logarítmica, e a calculadora diz quando a usou.
Para que serve a segunda derivada?
Ela diz como a própria inclinação está mudando: onde é positiva a curva tem concavidade para cima, onde é negativa para baixo, e onde cruza o zero há um ponto de inflexão. É a parte de que você precisa depois de encontrar os máximos e mínimos.
A minha resposta parece diferente — errei?
Não necessariamente. A mesma derivada pode ser escrita de várias formas, fatorada ou expandida. Compare as duas numericamente em alguns pontos: se os valores coincidem, as duas maneiras de escrever são a mesma função.
Que notação é aceita para potências e raízes?
Você pode escrever x^2 ou x², sqrt(x) ou x^(1/2): ela trata tudo igual e imprime a forma que se lê melhor. Para o logaritmo natural são aceitos tanto ln(x) quanto log(x).
Como funciona este cálculo
Soma: (f + g)′ = f′ + g′. Produto: (f·g)′ = f′g + fg′. Quociente: (f/g)′ = (f′g − fg′)/g². Cadeia: [f(g(x))]′ = f′(g(x))·g′(x). Potência com expoente constante: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Exponencial: (e^u)′ = e^u·u′ e (a^u)′ = a^u·ln(a)·u′. Logaritmo: (ln u)′ = u′/u. Trigonométricas: (sen u)′ = cos(u)·u′, (cos u)′ = −sen(u)·u′, (tan u)′ = u′/cos²(u). Inversas: (arctan u)′ = u′/(1+u²), (arcsen u)′ = u′/√(1−u²). Raiz: (√u)′ = u′/(2√u). Onde a variável aparece tanto na base quanto no expoente aplica-se a derivação logarítmica: f^g = e^(g·ln f), então (f^g)′ = f^g·(g·ln f)′.
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