Matematica
Studio di funzione: dal dominio al grafico
Scrivi la funzione e ottieni tutto lo studio nell'ordine in cui si fa sul quaderno, con i valori esatti dove esistono: √3 e non 1,732, 2 − √3 e non 0,268.
L'ordine di uno studio di funzione, e perché è quello
Uno studio di funzione è una sequenza in cui ogni passo prepara il successivo. Il dominio viene per primo perché tutto il resto accade al suo interno: uno zero fuori dal dominio non è uno zero, e i limiti si calcolano proprio dove il dominio finisce. Le simmetrie vengono subito dopo perché dimezzano il lavoro: per una funzione pari o dispari, quello che vale per x positivi è già noto per x negativi.
Seguono le intersezioni con gli assi e il segno, che fissano già la forma di massima: dove il grafico sta sopra l'asse x e dove sotto. I limiti agli estremi del dominio dicono come si comporta lì, e ogni limite infinito in un punto finito è un asintoto verticale. A ±∞ un limite finito dà un asintoto orizzontale; uno infinito può nascondere un asintoto obliquo, y = mx + q, con m = lim f(x)/x e q = lim (f(x) − mx).
Le derivate rifiniscono il quadro. Dove f′ è positiva la funzione cresce, dove è negativa decresce, e un cambio di segno segnala un massimo o un minimo. f″ fa lo stesso con la curvatura: positiva dove la concavità è verso l'alto, negativa dove è verso il basso, e un cambio di segno è un flesso. Solo alla fine, con tutti i punti e tutti gli asintoti in mano, si disegna il grafico.
Errori frequenti
- Chiamare massimo o minimo ogni zero di f′. Decide il cambio di segno: x³ ha f′(0) = 0 e continua a crescere, quindi 0 è un flesso a tangente orizzontale.
- Cercare gli estremi solo dove f′ = 0. In un punto angoloso o in una cuspide f′ non esiste, e |x| ha il suo minimo proprio lì.
- Dimenticare il dominio quando si dice dove una funzione cresce: 1/x è decrescente in (−∞; 0) e in (0; +∞), non su tutto ℝ, dato che 1/(−1) < 1/1.
- Cercare un asintoto obliquo dove c'è già un asintoto orizzontale dalla stessa parte: per x → +∞ una funzione può avere l'uno o l'altro, mai entrambi.
Domande frequenti
Quali sono i passi di uno studio di funzione?
Dominio, simmetrie, intersezioni con gli assi, segno, limiti agli estremi del dominio e asintoti, derivata prima con intervalli di crescenza e decrescenza e punti stazionari, derivata seconda con concavità e flessi, e infine il grafico.
Come distinguo un massimo da un minimo?
Dal segno di f′ a sinistra e a destra del punto. Se passa da positivo a negativo la funzione smette di crescere e comincia a decrescere: è un massimo. Da negativo a positivo: un minimo. Se il segno non cambia, il punto non è né l'uno né l'altro.
Che cos'è un punto di flesso?
Un punto del grafico in cui cambia la concavità, da verso l'alto a verso il basso o viceversa. Si trova dove f″ cambia segno; se lì si annulla anche f′, è un flesso a tangente orizzontale.
Perché alcuni valori hanno il simbolo ≈?
Zeri e limiti vengono cercati numericamente e poi riconosciuti: una frazione, un multiplo di π, una radice come 2 − √3 o una potenza di e sono scritti in forma esatta. Un valore che non è nessuno di questi, come la soluzione di cos x = x, è mostrato con un'approssimazione decimale.
Funziona anche con le funzioni goniometriche?
Sì, ma una funzione periodica ha infiniti zeri ed estremi, quindi sono elencati in un intervallo, da −2π a 2π se non ne scegli un altro. Dominio, limiti e asintoti sono dati per intero ogni volta che la funzione lo permette.
Come funziona questo calcolo
Le condizioni di esistenza si leggono sull'espressione: denominatore ≠ 0, radicando di una radice di indice pari ≥ 0, argomento del logaritmo > 0, argomento di arcoseno e arcocoseno tra −1 e 1, cos u ≠ 0 per tan u. f′ e f″ sono calcolate simbolicamente con le regole di derivazione. Gli zeri di f, f′ e f″ sono trovati per bisezione su una griglia fitta, e gli zeri doppi minimizzando |f|. I limiti sono letti sui valori di f avvicinandosi al punto, dove le differenze smettono di ridursi prima che prenda il sopravvento l'errore di arrotondamento. Asintoto verticale x = a se un limite laterale in a è infinito; asintoto orizzontale y = L se lim x→±∞ f(x) = L; asintoto obliquo y = mx + q con m = lim f(x)/x ≠ 0 e q = lim (f(x) − mx), entrambi finiti. Massimo dove f′ passa da + a −, minimo da − a +; flesso dove f″ cambia segno.
Calcoli collegati
Dominio di una funzione
Le condizioni di esistenza e il dominio scritto come unione di intervalli.
Limiti
Limiti destro, sinistro e all'infinito, con la forma indeterminata di partenza.
Asintoti
Asintoti verticali, orizzontali e obliqui, con i limiti che li dimostrano.
Derivate
Derivata di una funzione e regole usate per ottenerla.