Matemáticas
Progresiones aritméticas y geométricas
Introduce primer término, razón y número de términos: obtienes el término n-ésimo, la suma parcial y la lista de términos. En las geométricas convergentes aparece también la suma infinita.
Sumar y multiplicar: dos maneras de avanzar
Una progresión aritmética avanza por sumas: cada término es el anterior más una constante, la diferencia. Una progresión geométrica avanza por multiplicaciones: cada término es el anterior por una constante. De esa sola diferencia se deriva todo lo demás, incluido el hecho de que las primeras crecen linealmente y las segundas de forma exponencial, razón por la que una progresión geométrica con razón modesta supera pronto a cualquier aritmética.
La suma de los primeros n términos de una progresión aritmética se calcula con el truco atribuido a Gauss: se empareja el primer término con el último, el segundo con el penúltimo, y así sucesivamente. Cada pareja da la misma suma, y las parejas son n/2, así que el total es n veces la media entre el primer y el último término. No hace falta sumar uno a uno ni siquiera con mil términos.
La suma de una progresión geométrica tiene otra fórmula pero un origen igual de simple: multiplicando la suma por la razón y restando, casi todos los términos se cancelan y quedan dos. Cuando la razón es en valor absoluto menor que uno los términos se hacen cada vez más pequeños, y la suma de infinitos términos converge a un número finito: el resultado que hace posible el cálculo de las rentas perpetuas y resuelve las paradojas de Zenón.
Errores frecuentes
- Usar n en lugar de n−1 en el exponente o en el producto del término n-ésimo: el primer término corresponde a cero pasos, no a uno. Para el décimo término se suma nueve veces la diferencia, no diez.
- Aplicar la fórmula de la suma geométrica con razón igual a 1: en ese caso el denominador se anula y la suma es simplemente n veces el primer término.
- Creer que toda serie infinita converge: la suma infinita existe solo para las geométricas con razón entre −1 y 1. Con razón 2 la suma crece sin límite.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la fórmula del término n-ésimo?
Para una progresión aritmética aₙ = a₁ + (n−1)·d. Para una geométrica aₙ = a₁ · r^(n−1). En ambos casos el exponente o el multiplicador es n−1, porque del primer término al n-ésimo hay n−1 pasos.
¿Cómo se calcula la suma de los primeros n términos?
Aritmética: Sₙ = n·(a₁ + aₙ)/2, es decir el número de términos por la media entre el primero y el último. Geométrica: Sₙ = a₁·(1 − rⁿ)/(1 − r), válida para r distinto de 1.
¿Cuándo converge una serie geométrica?
Cuando la razón es en valor absoluto menor que 1. En ese caso la suma de los infinitos términos vale a₁/(1 − r). Con razón 1/2 y primer término 1 la suma infinita es exactamente 2.
¿Para qué sirven las progresiones geométricas en finanzas?
El montante de un capital a interés compuesto es una progresión geométrica de razón 1 + i, y el valor actual de una renta es la suma de una progresión geométrica. Las rentas perpetuas son precisamente el caso de la serie convergente.
Cómo funciona este cálculo
Progresión aritmética de primer término a₁ y diferencia d: término n-ésimo aₙ = a₁ + (n−1)d; suma de los primeros n términos Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 = n[2a₁ + (n−1)d]/2. Progresión geométrica de primer término a₁ y razón r: término n-ésimo aₙ = a₁·r^(n−1); suma de los primeros n términos Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) para r ≠ 1, y Sₙ = n·a₁ para r = 1. Serie geométrica infinita: converge si |r| < 1 y vale S = a₁/(1 − r); diverge en caso contrario. Propiedad: en una progresión aritmética cada término es la media aritmética de los dos adyacentes; en una geométrica es su media geométrica.