Mathematik
Arithmetische und geometrische Folgen
Gib Anfangsglied, Differenz oder Quotient und die Anzahl der Glieder ein: du erhältst das n-te Glied, die Teilsumme und die Liste der Glieder. Bei konvergenten geometrischen Folgen erscheint auch die unendliche Summe.
Addieren und multiplizieren: zwei Arten voranzuschreiten
Eine arithmetische Folge schreitet durch Addition voran: jedes Glied ist das vorige plus eine Konstante, die Differenz. Eine geometrische Folge schreitet durch Multiplikation voran: jedes Glied ist das vorige mal eine Konstante. Aus diesem einen Unterschied folgt alles Weitere, auch dass die ersten linear und die zweiten exponentiell wachsen — weshalb eine geometrische Folge selbst mit bescheidenem Quotienten jede arithmetische rasch überholt.
Die Summe der ersten n Glieder einer arithmetischen Folge berechnet man mit dem Gauß zugeschriebenen Kniff: man paart das erste Glied mit dem letzten, das zweite mit dem vorletzten und so fort. Jedes Paar ergibt dieselbe Summe, und es sind n/2 Paare, der Gesamtwert ist also n mal der Mittelwert aus erstem und letztem Glied. Selbst bei tausend Gliedern muss nichts einzeln addiert werden.
Die geometrische Summe hat eine andere Formel, aber einen ebenso einfachen Ursprung: multipliziert man die Summe mit dem Quotienten und subtrahiert, heben sich fast alle Glieder auf, und zwei bleiben übrig. Ist der Quotient betragsmäßig kleiner als eins, werden die Glieder immer kleiner, und die Summe unendlich vieler Glieder konvergiert gegen eine endliche Zahl — das Ergebnis, das ewige Renten möglich macht und die Paradoxa Zenons auflöst.
Häufige Fehler
- n statt n−1 im Exponenten oder im Vielfachen des n-ten Glieds verwenden: das erste Glied entspricht null Schritten, nicht einem. Für das zehnte Glied addiert man die Differenz neunmal, nicht zehnmal.
- Die Formel der geometrischen Summe mit Quotient 1 anwenden: dann wird der Nenner null, und die Summe ist schlicht n mal das Anfangsglied.
- Glauben, jede unendliche Reihe konvergiere: die unendliche Summe gibt es nur bei geometrischen Folgen mit einem Quotienten zwischen −1 und 1. Bei Quotient 2 wächst sie unbegrenzt.
Häufige Fragen
Wie lautet die Formel für das n-te Glied?
Bei einer arithmetischen Folge aₙ = a₁ + (n−1)·d, bei einer geometrischen aₙ = a₁ · q^(n−1). In beiden Fällen steht n−1, weil vom ersten bis zum n-ten Glied n−1 Schritte liegen.
Wie berechnet man die Summe der ersten n Glieder?
Arithmetisch: Sₙ = n·(a₁ + aₙ)/2, also die Anzahl der Glieder mal den Mittelwert aus erstem und letztem. Geometrisch: Sₙ = a₁·(1 − qⁿ)/(1 − q), gültig für q ungleich 1.
Wann konvergiert eine geometrische Reihe?
Wenn der Quotient betragsmäßig kleiner als 1 ist. Dann beträgt die Summe der unendlich vielen Glieder a₁/(1 − q). Bei Quotient 1/2 und Anfangsglied 1 ist die unendliche Summe genau 2.
Wozu dienen geometrische Folgen in der Finanzmathematik?
Der Endwert eines Kapitals bei Zinseszins ist eine geometrische Folge mit dem Quotienten 1 + i, und der Barwert einer Rente ist die Summe einer geometrischen Folge. Ewige Renten sind genau der Fall der konvergenten Reihe.
Wie diese Berechnung funktioniert
Arithmetische Folge mit Anfangsglied a₁ und Differenz d: n-tes Glied aₙ = a₁ + (n−1)d; Summe der ersten n Glieder Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 = n[2a₁ + (n−1)d]/2. Geometrische Folge mit Anfangsglied a₁ und Quotient q: n-tes Glied aₙ = a₁·q^(n−1); Summe der ersten n Glieder Sₙ = a₁(1 − qⁿ)/(1 − q) für q ≠ 1 und Sₙ = n·a₁ für q = 1. Unendliche geometrische Reihe: konvergiert für |q| < 1 mit S = a₁/(1 − q), divergiert sonst. Eigenschaft: in einer arithmetischen Folge ist jedes Glied das arithmetische Mittel seiner Nachbarn, in einer geometrischen ihr geometrisches Mittel.