Matematyka
Ciągi arytmetyczne i geometryczne
Podaj pierwszy wyraz, różnicę lub iloraz oraz liczbę wyrazów: otrzymasz n-ty wyraz, sumę częściową i listę wyrazów. Dla ciągów geometrycznych zbieżnych pojawia się też suma nieskończona.
Dodawanie i mnożenie: dwa sposoby posuwania się naprzód
Ciąg arytmetyczny posuwa się przez dodawanie: każdy wyraz to poprzedni plus stała, czyli różnica. Ciąg geometryczny posuwa się przez mnożenie: każdy wyraz to poprzedni razy stała. Z tej jednej różnicy wynika cała reszta, w tym fakt, że pierwsze rosną liniowo, a drugie wykładniczo — dlatego ciąg geometryczny nawet o skromnym ilorazie szybko wyprzedza każdy arytmetyczny.
Sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego oblicza się sztuczką przypisywaną Gaussowi: łączy się pierwszy wyraz z ostatnim, drugi z przedostatnim i tak dalej. Każda para daje tę samą sumę, a par jest n/2, więc całość to n razy średnia z pierwszego i ostatniego wyrazu. Nie trzeba dodawać po kolei nawet przy tysiącu wyrazów.
Suma ciągu geometrycznego ma inny wzór, ale równie prosty rodowód: mnożąc sumę przez iloraz i odejmując, prawie wszystkie wyrazy się redukują i zostają dwa. Gdy iloraz co do wartości bezwzględnej jest mniejszy od jedności, wyrazy stają się coraz mniejsze, a suma nieskończenie wielu wyrazów zbiega do liczby skończonej — wynik, który umożliwia rachunek rent wieczystych i rozwiązuje paradoksy Zenona.
Częste błędy
- Użycie n zamiast n−1 w wykładniku lub w mnożniku n-tego wyrazu: pierwszy wyraz odpowiada zeru kroków, a nie jednemu. Dla dziesiątego wyrazu dodaje się różnicę dziewięć razy, nie dziesięć.
- Stosowanie wzoru na sumę geometryczną przy ilorazie równym 1: mianownik się zeruje, a suma to po prostu n razy pierwszy wyraz.
- Przekonanie, że każdy szereg nieskończony jest zbieżny: suma nieskończona istnieje tylko dla ciągów geometrycznych o ilorazie między −1 a 1. Przy ilorazie 2 rośnie bez ograniczeń.
Najczęstsze pytania
Jaki jest wzór na n-ty wyraz?
Dla ciągu arytmetycznego aₙ = a₁ + (n−1)·r. Dla geometrycznego aₙ = a₁ · q^(n−1). W obu przypadkach występuje n−1, bo od pierwszego wyrazu do n-tego jest n−1 kroków.
Jak obliczyć sumę n początkowych wyrazów?
Arytmetyczny: Sₙ = n·(a₁ + aₙ)/2, czyli liczba wyrazów razy średnia z pierwszego i ostatniego. Geometryczny: Sₙ = a₁·(1 − qⁿ)/(1 − q), dla q różnego od 1.
Kiedy szereg geometryczny jest zbieżny?
Gdy iloraz co do wartości bezwzględnej jest mniejszy od 1. Suma nieskończenie wielu wyrazów wynosi wtedy a₁/(1 − q). Przy ilorazie 1/2 i pierwszym wyrazie 1 suma nieskończona wynosi dokładnie 2.
Do czego służą ciągi geometryczne w finansach?
Wartość przyszła kapitału przy procencie składanym to ciąg geometryczny o ilorazie 1 + i, a wartość obecna renty to suma ciągu geometrycznego. Renty wieczyste to właśnie przypadek szeregu zbieżnego.
Jak działa to obliczenie
Ciąg arytmetyczny o pierwszym wyrazie a₁ i różnicy r: n-ty wyraz aₙ = a₁ + (n−1)r; suma n początkowych wyrazów Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 = n[2a₁ + (n−1)r]/2. Ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie a₁ i ilorazie q: n-ty wyraz aₙ = a₁·q^(n−1); suma n początkowych wyrazów Sₙ = a₁(1 − qⁿ)/(1 − q) dla q ≠ 1 oraz Sₙ = n·a₁ dla q = 1. Szereg geometryczny nieskończony: zbieżny przy |q| < 1 i równy S = a₁/(1 − q); w przeciwnym razie rozbieżny. Własność: w ciągu arytmetycznym każdy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiadów, a w geometrycznym ich średnią geometryczną.