Mathématiques
Suites arithmétiques et géométriques
Saisissez le premier terme, la raison et le nombre de termes : vous obtenez le terme de rang n, la somme partielle et la liste des termes. Pour les suites géométriques convergentes, la somme infinie apparaît aussi.
Additionner et multiplier : deux façons d'avancer
Une suite arithmétique avance par additions : chaque terme est le précédent plus une constante, la raison. Une suite géométrique avance par multiplications : chaque terme est le précédent multiplié par une constante. De cette seule différence découle tout le reste, y compris le fait que les premières croissent linéairement et les secondes de façon exponentielle — raison pour laquelle une suite géométrique, même de raison modeste, dépasse vite n'importe quelle arithmétique.
La somme des n premiers termes d'une suite arithmétique se calcule avec l'astuce attribuée à Gauss : on associe le premier terme au dernier, le deuxième à l'avant-dernier, et ainsi de suite. Chaque paire donne la même somme, et il y a n/2 paires : le total vaut donc n fois la moyenne du premier et du dernier terme. Nul besoin d'additionner un à un, même pour mille termes.
La somme d'une suite géométrique obéit à une autre formule mais à une origine tout aussi simple : en multipliant la somme par la raison puis en soustrayant, presque tous les termes s'annulent et il n'en reste que deux. Quand la raison est en valeur absolue inférieure à un, les termes deviennent de plus en plus petits et la somme d'une infinité de termes converge vers un nombre fini — le résultat qui rend possibles les rentes perpétuelles et résout les paradoxes de Zénon.
Erreurs fréquentes
- Utiliser n au lieu de n−1 dans l'exposant ou le multiple du terme de rang n : le premier terme correspond à zéro pas, pas à un. Pour le dixième terme on ajoute neuf fois la raison, pas dix.
- Appliquer la formule de la somme géométrique avec une raison égale à 1 : le dénominateur s'annule, et la somme vaut simplement n fois le premier terme.
- Croire que toute série infinie converge : la somme infinie n'existe que pour les suites géométriques de raison comprise entre −1 et 1. Avec une raison de 2, la somme croît sans limite.
Questions fréquentes
Quelle est la formule du terme de rang n ?
Pour une suite arithmétique uₙ = u₁ + (n−1)·r. Pour une géométrique uₙ = u₁ · q^(n−1). Dans les deux cas c'est n−1, car du premier terme au n-ième il y a n−1 pas.
Comment calculer la somme des n premiers termes ?
Arithmétique : Sₙ = n·(u₁ + uₙ)/2, soit le nombre de termes fois la moyenne du premier et du dernier. Géométrique : Sₙ = u₁·(1 − qⁿ)/(1 − q), valable pour q différent de 1.
Quand une série géométrique converge-t-elle ?
Quand la raison est en valeur absolue inférieure à 1. La somme des termes infinis vaut alors u₁/(1 − q). Avec une raison de 1/2 et un premier terme de 1, la somme infinie vaut exactement 2.
À quoi servent les suites géométriques en finance ?
La valeur acquise d'un capital à intérêts composés est une suite géométrique de raison 1 + i, et la valeur actuelle d'une rente est la somme d'une suite géométrique. Les rentes perpétuelles sont précisément le cas de la série convergente.
Comment fonctionne ce calcul
Suite arithmétique de premier terme u₁ et de raison r : terme de rang n uₙ = u₁ + (n−1)r ; somme des n premiers termes Sₙ = n(u₁ + uₙ)/2 = n[2u₁ + (n−1)r]/2. Suite géométrique de premier terme u₁ et de raison q : terme de rang n uₙ = u₁·q^(n−1) ; somme des n premiers termes Sₙ = u₁(1 − qⁿ)/(1 − q) pour q ≠ 1, et Sₙ = n·u₁ pour q = 1. Série géométrique infinie : converge si |q| < 1 et vaut S = u₁/(1 − q) ; diverge sinon. Propriété : dans une suite arithmétique chaque terme est la moyenne arithmétique de ses voisins ; dans une géométrique, leur moyenne géométrique.