Matemática
Progressões aritméticas e geométricas
Informe o primeiro termo, a razão e quantos termos: você obtém o termo geral, a soma parcial e a lista dos termos. As geométricas convergentes mostram também a soma infinita.
Somar e multiplicar: duas maneiras de avançar
Uma progressão aritmética avança por soma: cada termo é o anterior mais uma constante, a razão. Uma progressão geométrica avança por multiplicação: cada termo é o anterior vezes uma constante. Todo o resto sai dessa única diferença, inclusive o fato de as primeiras crescerem de forma linear e as segundas de forma exponencial — e é por isso que uma progressão geométrica com razão até modesta ultrapassa qualquer aritmética.
A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética usa o truque atribuído a Gauss: junta-se o primeiro termo com o último, o segundo com o penúltimo, e assim por diante. Cada par dá a mesma soma e há n/2 pares, então o total é n vezes a média entre o primeiro e o último termo. Não é preciso somar termo a termo nem para mil deles.
A soma geométrica tem outra fórmula, mas uma origem igualmente simples: multiplica-se a soma pela razão e subtrai-se, e quase todos os termos se cancelam, sobrando dois. Quando a razão é menor que um em valor absoluto, os termos diminuem sem parar e a soma de infinitos deles converge para um número finito — o resultado que torna possíveis as rendas perpétuas e resolve os paradoxos de Zenão.
Erros frequentes
- Usar n em vez de n−1 no expoente ou no múltiplo do termo geral: o primeiro termo corresponde a zero passos, não a um. Para o décimo termo soma-se a razão nove vezes, não dez.
- Aplicar a fórmula da soma geométrica com razão 1: o denominador se anula, e a soma é simplesmente n vezes o primeiro termo.
- Achar que toda série infinita converge: a soma infinita só existe para progressões geométricas com razão entre −1 e 1. Com razão 2 a soma cresce sem limite.
Perguntas frequentes
Qual é a fórmula do termo geral?
Para uma PA, aₙ = a₁ + (n−1)·r. Para uma PG, aₙ = a₁ · q^(n−1). Nas duas o expoente ou o múltiplo é n−1, porque do primeiro termo ao de ordem n há n−1 passos.
Como se calcula a soma dos n primeiros termos?
PA: Sₙ = n·(a₁ + aₙ)/2, o número de termos vezes a média entre o primeiro e o último. PG: Sₙ = a₁·(1 − qⁿ)/(1 − q), válida para q diferente de 1.
Quando uma série geométrica converge?
Quando a razão é menor que 1 em valor absoluto. A soma de infinitos termos é então a₁/(1 − q). Com razão 1/2 e primeiro termo 1, a soma infinita é exatamente 2.
Para que servem as progressões geométricas em finanças?
O montante de um capital a juros compostos é uma PG de razão 1 + i, e o valor presente de uma renda é a soma de uma PG. As rendas perpétuas são justamente o caso da série convergente.
Como funciona este cálculo
Progressão aritmética com primeiro termo a₁ e razão r: termo geral aₙ = a₁ + (n−1)r; soma dos n primeiros termos Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 = n[2a₁ + (n−1)r]/2. Progressão geométrica com primeiro termo a₁ e razão q: termo geral aₙ = a₁·q^(n−1); soma dos n primeiros termos Sₙ = a₁(1 − qⁿ)/(1 − q) para q ≠ 1, e Sₙ = n·a₁ para q = 1. Série geométrica infinita: converge se |q| < 1 e vale S = a₁/(1 − q); diverge nos outros casos. Propriedade: em uma PA cada termo é a média aritmética dos vizinhos; em uma PG é a média geométrica.