Matematica
Scomposizione in fattori primi con i passaggi
Scrivi un numero intero: ottieni la scomposizione in fattori primi con le potenze, la divisione in colonna come sul quaderno, l'elenco dei divisori e la risposta alla domanda se il numero è primo.
Come si scompone un numero in fattori primi
Ogni numero intero maggiore di 1 si scrive in un solo modo come prodotto di numeri primi: è il teorema fondamentale dell'aritmetica. Per trovarli si divide per il primo più piccolo possibile, 2, finché si può, poi per 3, per 5 e così via, annotando i quozienti in colonna. Per 360: 360 : 2 = 180, : 2 = 90, : 2 = 45, : 3 = 15, : 3 = 5, : 5 = 1, quindi 360 = 2³ × 3² × 5.
Dalla scomposizione si ricava quasi tutto il resto. Il numero di divisori è il prodotto degli esponenti aumentati di uno: per 360, 4 × 3 × 2 = 24. MCD e mcm di due numeri si ottengono confrontando le scomposizioni, e un numero è un quadrato perfetto quando tutti gli esponenti sono pari.
Per numeri grandi le divisioni di prova diventano lentissime: con 30 cifre servirebbero miliardi di tentativi. Questa calcolatrice usa il test di Miller-Rabin per riconoscere i primi e il metodo rho di Pollard per spezzare i composti, gli stessi strumenti della crittografia.
Errori frequenti
- Considerare 1 un numero primo: per definizione un primo ha esattamente due divisori, e 1 ne ha uno solo.
- Fermarsi a un fattore non primo, come 360 = 4 × 90: la scomposizione è finita solo quando tutti i fattori sono primi.
- Provare i divisori oltre la radice quadrata: se n non ha divisori fino a √n, è primo.
Domande frequenti
Come si capisce se un numero è primo?
Basta verificare che non sia divisibile per nessun primo fino alla sua radice quadrata. Per 97, radice circa 9,8, bastano 2, 3, 5 e 7: nessuno lo divide, quindi 97 è primo.
A che cosa serve la scomposizione in fattori primi?
A calcolare MCD e mcm, a semplificare frazioni e radicali, a contare i divisori. In crittografia la sicurezza dell'RSA si basa proprio sulla difficoltà di scomporre numeri enormi.
Che cos'è la funzione di Eulero?
φ(n) conta quanti numeri fra 1 e n non hanno fattori comuni con n. Per un primo p vale p − 1; per 360 vale 96.
Come funziona questo calcolo
n = p₁^a₁ × p₂^a₂ × … × pₖ^aₖ. Numero di divisori = (a₁ + 1)(a₂ + 1)…(aₖ + 1). Somma dei divisori = Π (pᵢ^(aᵢ+1) − 1) / (pᵢ − 1). Funzione di Eulero φ(n) = Π pᵢ^(aᵢ−1)(pᵢ − 1). Metodo: divisioni per i primi fino a 1000, test di Miller-Rabin con basi deterministiche e fattorizzazione rho di Pollard nella variante di Brent.
Calcoli collegati
Scomposizione di polinomi
Raccoglimento, Ruffini, prodotti notevoli e trinomi: la scomposizione di un polinomio passo per passo.
Regola di Ruffini
Divide un polinomio per (x − a) e lo scompone in fattori.
MCD e mcm
Massimo comun divisore e minimo comune multiplo con scomposizione in fattori primi.
Frazione generatrice
Da numero decimale periodico a frazione e da frazione a decimale, con il periodo e la regola spiegata.