Matematica
Scomposizione di un polinomio in fattori, passo per passo
Scrivi un polinomio in x: ottieni la scomposizione in fattori con i passaggi, dal raccoglimento alle radici trovate con Ruffini, i prodotti notevoli riconosciuti e le radici reali e complesse.
Come si scompone un polinomio
Scomporre un polinomio significa scriverlo come prodotto di polinomi di grado più basso. L'ordine delle mosse è sempre lo stesso: prima il raccoglimento totale del fattore comune a tutti i termini, poi i prodotti notevoli se il polinomio ne ha la forma, poi la ricerca delle radici con la regola di Ruffini, infine i trinomi di secondo grado.
La regola di Ruffini si basa sul teorema del resto: se un numero a annulla il polinomio, allora (x − a) è un suo fattore. Le radici razionali possibili sono le frazioni con numeratore divisore del termine noto e denominatore divisore del coefficiente di grado massimo. Per 2x⁴ − 2x³ − 14x² + 2x + 12, raccolto il 2, le radici −2, −1, 1 e 3 danno 2(x + 2)(x + 1)(x − 1)(x − 3).
Quando resta un trinomio ax² + bx + c, decide il discriminante Δ = b² − 4ac: se è un quadrato perfetto le radici sono razionali; se è positivo ma non quadrato il trinomio si scompone solo nei reali, con le radici irrazionali; se è negativo è irriducibile. Alcuni polinomi senza radici si scompongono comunque in due trinomi, come x⁴ + 4 = (x² − 2x + 2)(x² + 2x + 2).
Errori frequenti
- Dimenticare il raccoglimento totale all'inizio: rende tutti i passaggi successivi più difficili.
- Scambiare (x − a) con (x + a): se la radice è 3, il fattore è (x − 3).
- Considerare irriducibile x² + 1 anche nei complessi: nei reali lo è, nei complessi è (x + i)(x − i).
Domande frequenti
Come si trovano le radici da provare con Ruffini?
Si prendono i divisori del termine noto e si dividono per i divisori del coefficiente di grado massimo, con entrambi i segni. Per 6x² − x − 2: ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6. Qui funzionano −1/2 e 2/3.
Ogni polinomio si può scomporre?
Nei complessi sì, sempre in fattori di primo grado: è il teorema fondamentale dell'algebra. Nei reali si arriva sempre a fattori di primo e secondo grado. Nei razionali invece molti polinomi, come x² − 2, sono irriducibili.
Che differenza c'è fra radice e fattore?
Sono due facce della stessa cosa: a è radice del polinomio se e solo se (x − a) è un suo fattore.
Come funziona questo calcolo
Raccoglimento: si divide per il MCD dei coefficienti. Teorema del resto: P(a) = 0 ⇔ (x − a) divide P(x). Radici razionali possibili: p/q con p divisore del termine noto e q divisore del coefficiente direttore. Trinomio ax² + bx + c: Δ = b² − 4ac, radici x = (−b ± √Δ) / 2a e ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Quartica: (a₁x² + b₁x + c₁)(a₂x² + b₂x + c₂) con coefficienti interi, confrontando i coefficienti.
Calcoli collegati
Numeri complessi
Operazioni, forma algebrica, trigonometrica ed esponenziale, potenze e radici n-esime, con il piano di Gauss.
Equazioni di primo e secondo grado
Radici, discriminante, vertice e scomposizione di ax² + bx + c = 0.
Equazioni differenziali
Equazioni differenziali lineari del primo e secondo ordine a coefficienti costanti, con soluzione e grafico.
Regola di Ruffini
Divide un polinomio per (x − a) e lo scompone in fattori.