Matemáticas
Descomposición en factores primos con los pasos
Escribe un número entero: obtendrás su descomposición en factores primos con potencias, la división en columna como en el cuaderno, la lista de divisores y la respuesta a si el número es primo.
Cómo se descompone un número en factores primos
Todo número entero mayor que 1 se escribe de una única manera como producto de números primos: es el teorema fundamental de la aritmética. Para encontrarlos se divide entre el primo más pequeño posible, 2, mientras se pueda, luego entre 3, entre 5, etc., anotando los cocientes en columna. Para 360: 360 : 2 = 180, : 2 = 90, : 2 = 45, : 3 = 15, : 3 = 5, : 5 = 1, así que 360 = 2³ × 3² × 5.
De la descomposición sale casi todo lo demás. El número de divisores es el producto de los exponentes aumentados en uno: para 360, 4 × 3 × 2 = 24. El MCD y el mcm de dos números se obtienen comparando las descomposiciones, y un número es cuadrado perfecto cuando todos los exponentes son pares.
Para números grandes, las divisiones de prueba se vuelven lentísimas: con 30 cifras harían falta miles de millones de intentos. Esta calculadora usa el test de Miller-Rabin para reconocer los primos y el método rho de Pollard para partir los compuestos, las mismas herramientas de la criptografía.
Errores frecuentes
- Considerar el 1 como primo: por definición, un primo tiene exactamente dos divisores y el 1 solo tiene uno.
- Pararse en un factor no primo, como 360 = 4 × 90: la descomposición termina solo cuando todos los factores son primos.
- Probar divisores más allá de la raíz cuadrada: si n no tiene divisores hasta √n, es primo.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se sabe si un número es primo?
Basta comprobar que no es divisible entre ningún primo hasta su raíz cuadrada. Para 97, con raíz de unos 9,8, bastan 2, 3, 5 y 7: ninguno lo divide, así que 97 es primo.
¿Para qué sirve la descomposición en factores primos?
Para calcular MCD y mcm, simplificar fracciones y radicales y contar divisores. En criptografía, la seguridad de RSA se basa justamente en lo difícil que es descomponer números enormes.
¿Qué es la función de Euler?
φ(n) cuenta cuántos números entre 1 y n no tienen factores comunes con n. Para un primo p vale p − 1; para 360 vale 96.
Cómo funciona este cálculo
n = p₁^a₁ × p₂^a₂ × … × pₖ^aₖ. Número de divisores = (a₁ + 1)(a₂ + 1)…(aₖ + 1). Suma de divisores = Π (pᵢ^(aᵢ+1) − 1) / (pᵢ − 1). Función de Euler φ(n) = Π pᵢ^(aᵢ−1)(pᵢ − 1). Método: división entre los primos menores que 1000, test de Miller-Rabin determinista y factorización rho de Pollard en la variante de Brent.
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