Mathématiques
Décomposition en facteurs premiers avec les étapes
Saisis un nombre entier : obtiens sa décomposition en facteurs premiers avec les puissances, la division en colonne comme dans le cahier, la liste des diviseurs et la réponse à la question de savoir s'il est premier.
Comment décomposer un nombre en facteurs premiers
Tout entier supérieur à 1 s'écrit d'une seule façon comme produit de nombres premiers : c'est le théorème fondamental de l'arithmétique. Pour les trouver, on divise par le plus petit premier possible, 2, tant qu'on peut, puis par 3, par 5, etc., en notant les quotients en colonne. Pour 360 : 360 : 2 = 180, : 2 = 90, : 2 = 45, : 3 = 15, : 3 = 5, : 5 = 1, donc 360 = 2³ × 3² × 5.
Presque tout le reste découle de la décomposition. Le nombre de diviseurs est le produit des exposants augmentés de un : pour 360, 4 × 3 × 2 = 24. Le PGCD et le PPCM de deux nombres s'obtiennent en comparant les décompositions, et un nombre est un carré parfait quand tous ses exposants sont pairs.
Pour les grands nombres, les divisions d'essai deviennent désespérément lentes : 30 chiffres exigeraient des milliards de tentatives. Ce calculateur reconnaît les premiers par le test de Miller-Rabin et casse les composés par la méthode rho de Pollard, les outils mêmes de la cryptographie.
Erreurs fréquentes
- Compter 1 comme nombre premier : par définition, un premier a exactement deux diviseurs, et 1 n'en a qu'un.
- S'arrêter à un facteur non premier, comme 360 = 4 × 90 : la décomposition n'est finie que lorsque tous les facteurs sont premiers.
- Tester des diviseurs au-delà de la racine carrée : si n n'a aucun diviseur jusqu'à √n, il est premier.
Questions fréquentes
Comment savoir si un nombre est premier ?
Il suffit de vérifier qu'aucun nombre premier jusqu'à sa racine carrée ne le divise. Pour 97, de racine environ 9,8, tester 2, 3, 5 et 7 suffit : aucun ne le divise, donc 97 est premier.
À quoi sert la décomposition en facteurs premiers ?
À calculer PGCD et PPCM, à simplifier fractions et racines, à compter les diviseurs. En cryptographie, la sécurité de RSA repose justement sur la difficulté de décomposer d'énormes nombres.
Qu'est-ce que l'indicatrice d'Euler ?
φ(n) compte les nombres de 1 à n sans facteur commun avec n. Pour un premier p, elle vaut p − 1 ; pour 360, elle vaut 96.
Comment fonctionne ce calcul
n = p₁^a₁ × p₂^a₂ × … × pₖ^aₖ. Nombre de diviseurs = (a₁ + 1)(a₂ + 1)…(aₖ + 1). Somme des diviseurs = Π (pᵢ^(aᵢ+1) − 1) / (pᵢ − 1). Indicatrice d'Euler φ(n) = Π pᵢ^(aᵢ−1)(pᵢ − 1). Méthode : divisions par les premiers inférieurs à 1000, test de Miller-Rabin déterministe et factorisation rho de Pollard dans la variante de Brent.
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