Frazione generatrice di un numero decimale periodico

Numeri periodici e frazioni generatrici

Ogni frazione, divisa, dà un numero decimale limitato o periodico. È limitato quando il denominatore, ridotto ai minimi termini, contiene solo i fattori 2 e 5; altrimenti le cifre si ripetono all'infinito, perché i resti della divisione possibili sono finiti e prima o poi uno si ripresenta. 1/7 = 0,(142857) ha un periodo di sei cifre, 1/97 addirittura di 96.

Il percorso inverso è la frazione generatrice. La regola della scuola: al numeratore si scrive il numero senza virgola meno la parte che precede il periodo, al denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo seguiti da tanti 0 quante sono le cifre dell'antiperiodo. Per 0,1(6): (16 − 1) / 90 = 15/90 = 1/6.

La regola funziona perché moltiplicare per una potenza di 10 sposta il periodo, e sottraendo due copie del numero le code infinite si annullano. È anche il motivo per cui 0,(9) vale esattamente 1: la differenza fra i due numeri sarebbe più piccola di qualsiasi quantità positiva.

Errori frequenti

Mettere al denominatore solo 9 anche quando c'è un antiperiodo: per 0,1(6) servono 90, non 9.
Dimenticare di sottrarre la parte non periodica al numeratore.
Non ridurre la frazione ai minimi termini: 15/90 è corretta, ma il risultato atteso è 1/6.

Domande frequenti

Perché 0,(9) è uguale a 1?

Perché 1/3 = 0,(3) e tre volte 1/3 fa 1, mentre tre volte 0,(3) fa 0,(9). Con la regola: 9/9 = 1. Due numeri diversi avrebbero fra loro una differenza positiva, e qui non c'è.

Come si capisce se una frazione dà un numero periodico?

Si riduce ai minimi termini e si scompone il denominatore: se ha solo fattori 2 e 5 il decimale è limitato, altrimenti è periodico. Se non ha né 2 né 5 è periodico semplice, se li ha insieme ad altri è periodico misto.

Quanto può essere lungo il periodo?

Al massimo il denominatore meno uno: 1/7 ha 6 cifre, 1/17 ne ha 16, 1/97 ne ha 96.

Come funziona questo calcolo

Decimale a, b(c) con antiperiodo b di k cifre e periodo c di p cifre: frazione = (abc − ab) / (99…9 00…0), con p nove e k zeri. Decimale limitato a,b: ab / 10^k. Da frazione a decimale: divisione in colonna; il periodo inizia quando un resto si ripete, e la lunghezza è quella del tratto fra le due ripetizioni.

Scomposizione in fattori primi

Fattori primi di un numero fino a 30 cifre, con la divisione in colonna, i divisori e il test di primalità.

MCD e mcm

Massimo comun divisore e minimo comune multiplo con scomposizione in fattori primi.

Frazioni

Somma, sottrazione, prodotto e quoziente di frazioni, con semplificazione ai minimi termini.

Notazione scientifica

Notazione scientifica e ingegneristica, cifre significative e arrotondamento di qualsiasi numero.