Matemática
Decomposição em fatores primos passo a passo
Digite um número inteiro: obtenha a fatoração em primos com potências, a divisão em coluna como no caderno, a lista de divisores e a resposta se o número é primo.
Como decompor um número em fatores primos
Todo número inteiro maior que 1 se escreve de um único jeito como produto de números primos: é o teorema fundamental da aritmética. Para encontrá-los, divide-se pelo menor primo possível, 2, enquanto der, depois por 3, por 5 e assim por diante, anotando os quocientes em coluna. Para 360: 360 : 2 = 180, : 2 = 90, : 2 = 45, : 3 = 15, : 3 = 5, : 5 = 1, então 360 = 2³ × 3² × 5.
Da fatoração sai quase todo o resto. O número de divisores é o produto dos expoentes aumentados de um: para 360, 4 × 3 × 2 = 24. O MDC e o MMC de dois números vêm da comparação das fatorações, e um número é quadrado perfeito quando todos os expoentes são pares.
Para números grandes, as divisões de teste ficam lentíssimas: com 30 dígitos seriam bilhões de tentativas. Esta calculadora usa o teste de Miller-Rabin para reconhecer os primos e o método rho de Pollard para quebrar os compostos, as mesmas ferramentas da criptografia.
Erros comuns
- Considerar o 1 um número primo: por definição um primo tem exatamente dois divisores, e o 1 tem só um.
- Parar num fator que não é primo, como 360 = 4 × 90: a fatoração só termina quando todos os fatores são primos.
- Testar divisores além da raiz quadrada: se n não tem divisores até √n, é primo.
Perguntas frequentes
Como saber se um número é primo?
Basta verificar que nenhum primo até a sua raiz quadrada o divide. Para 97, com raiz perto de 9,8, testar 2, 3, 5 e 7 é suficiente: nenhum divide, então 97 é primo.
Para que serve a decomposição em fatores primos?
Para calcular MDC e MMC, simplificar frações e radicais e contar divisores. Na criptografia, a segurança do RSA se baseia justamente na dificuldade de fatorar números enormes.
O que é a função de Euler?
φ(n) conta quantos números de 1 a n não têm fatores em comum com n. Para um primo p vale p − 1; para 360 vale 96.
Como funciona este cálculo
n = p₁^a₁ × p₂^a₂ × … × pₖ^aₖ. Número de divisores = (a₁ + 1)(a₂ + 1)…(aₖ + 1). Soma dos divisores = Π (pᵢ^(aᵢ+1) − 1) / (pᵢ − 1). Função de Euler φ(n) = Π pᵢ^(aᵢ−1)(pᵢ − 1). Método: divisão pelos primos menores que 1000, teste de Miller-Rabin determinístico e fatoração rho de Pollard na variante de Brent.
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