Calcolo MCD e mcm online con scomposizione in fattori primi

Che cosa sono MCD e mcm, e quando servono

Il massimo comun divisore è il numero più grande che divide esattamente tutti quelli dati; il minimo comune multiplo è il più piccolo numero che li contiene tutti un numero intero di volte. Sono due facce della stessa scomposizione: una volta che ogni numero è scritto come prodotto di potenze di primi, il MCD prende i fattori comuni con l'esponente minore e il mcm prende tutti i fattori con l'esponente maggiore.

Servono in situazioni diverse. Il MCD risponde alle domande di suddivisione: qual è la piastrella quadrata più grande che riempie esattamente una stanza di 120 × 90 cm, in quanti gruppi uguali si può dividere una classe. Il mcm risponde alle domande di sincronizzazione: fra quanti giorni due turni che si ripetono ogni 6 e ogni 8 giorni ricadono insieme, qual è il denominatore comune per sommare due frazioni.

Per due soli numeri l'algoritmo di Euclide è più rapido della scomposizione, e non richiede di trovare i fattori primi: si divide il maggiore per il minore, poi il divisore per il resto, e così via finché il resto non si annulla. L'ultimo divisore diverso da zero è il MCD. Il mcm si ottiene subito dopo, perché per due numeri vale sempre MCD × mcm = a × b.

Errori frequenti

Scambiare le regole degli esponenti: nel MCD si prendono i fattori comuni con l'esponente più piccolo, nel mcm tutti i fattori con l'esponente più grande. Invertirle dà due numeri plausibili e sbagliati.
Dimenticare i fattori non comuni nel mcm: se un numero contiene un primo che gli altri non hanno, quel primo entra comunque nel minimo comune multiplo.
Usare la relazione MCD × mcm = a × b con più di due numeri: vale soltanto per una coppia. Con tre numeri il prodotto dei due risultati non ha alcun rapporto fisso con il prodotto dei dati.

Domande frequenti

Come si calcola il MCD con la scomposizione in fattori primi?

Si scompone ogni numero in fattori primi, si individuano i primi presenti in tutte le scomposizioni e si moltiplicano prendendo per ciascuno l'esponente più basso. Per 12 = 2²·3 e 18 = 2·3² i fattori comuni sono 2 e 3, con esponenti minimi 1 e 1: il MCD è 6.

E il minimo comune multiplo?

Si prendono tutti i primi che compaiono in almeno una scomposizione, ciascuno con l'esponente più alto con cui compare. Per 12 = 2²·3 e 18 = 2·3² si prende 2² e 3², quindi il mcm è 36.

Che cosa vuol dire che due numeri sono primi fra loro?

Che il loro MCD è 1, cioè non hanno fattori primi in comune. Non significa che siano numeri primi: 8 e 9 sono primi fra loro pur essendo entrambi composti. In quel caso il mcm coincide con il prodotto.

A cosa serve il mcm nelle frazioni?

È il denominatore comune più piccolo con cui si possono sommare o confrontare due frazioni. Usare il prodotto dei denominatori funziona sempre ma produce numeri più grandi da semplificare dopo.

Come funziona questo calcolo

Scomposizione: ogni intero maggiore di 1 si scrive in modo unico come prodotto di potenze di primi (teorema fondamentale dell'aritmetica). MCD: prodotto dei primi comuni a tutte le scomposizioni, ciascuno con l'esponente minimo. mcm: prodotto di tutti i primi che compaiono, ciascuno con l'esponente massimo. Algoritmo di Euclide: MCD(a; b) = MCD(b; a mod b), ripetuto finché il resto è zero. Relazione fra i due, valida per una coppia: MCD(a; b) × mcm(a; b) = a × b. Per più numeri il mcm si costruisce a coppie: mcm(a; b; c) = mcm(mcm(a; b); c).

Percentuali

Percentuale di un totale, aumenti, sconti, variazione percentuale e scorporo.

Frazioni

Somma, sottrazione, prodotto e quoziente di frazioni, con semplificazione ai minimi termini.

Proporzioni

Termine incognito, quarto proporzionale, medio e terzo proporzionale.

Scomposizione in fattori primi

Fattori primi di un numero fino a 30 cifre, con la divisione in colonna, i divisori e il test di primalità.