Estadística: media, mediana, moda y desviación típica

Cómo se leen estos índices

Los estadísticos descriptivos resumen un conjunto de datos en unas pocas medidas y se dividen en dos familias. Los índices de posición dicen dónde está el centro: media, mediana y moda. Los índices de dispersión dicen cuánto se alejan los valores de ese centro: recorrido, varianza, desviación típica y rango intercuartílico. Hacen falta ambas familias, porque dos conjuntos con la misma media pueden tener formas completamente distintas.

Media y mediana responden a la misma pregunta de formas distintas. La media suma todos los valores y divide entre cuántos son, así que se ve arrastrada por los valores extremos: un solo sueldo muy alto desplaza la media de una oficina. La mediana es el valor central una vez ordenados los datos, y un único valor atípico no la mueve. Cuando media y mediana difieren mucho, la distribución es asimétrica y es la mediana la que describe mejor el caso típico.

La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza y tiene la ventaja de expresarse en las mismas unidades que los datos. Existen dos versiones: la poblacional divide entre n y se usa cuando los datos son toda la colectividad de interés; la muestral divide entre n − 1 (corrección de Bessel) y se usa cuando los datos son una muestra extraída de una población más amplia. La segunda es algo mayor, porque corrige la tendencia de la muestra a subestimar la variabilidad real.

Ejemplo numérico con los datos 12, 15, 15, 18, 21, 24, 24, 24, 30: la suma es 183 y los valores son 9, así que la media es 20,33. Ordenados, el valor central es el quinto, es decir 21: esa es la mediana. El 24 aparece tres veces y es la moda. La desviación típica poblacional es 5,52 y la muestral 5,85. El primer cuartil vale 15 y el tercero 24, de modo que la mitad de los datos están entre ambos valores.

Errores frecuentes

Usar la desviación típica muestral para datos que representan toda la población, o al revés: la diferencia es despreciable con muchos datos, pero apreciable por debajo de una treintena de observaciones.
Describir con la sola media una distribución muy asimétrica, como las rentas: la mediana refleja mejor el caso típico.
Confundir ausencia de moda y moda múltiple: si todos los valores aparecen el mismo número de veces no hay moda, mientras que dos valores con la misma frecuencia máxima dan una distribución bimodal.
Comparar desviaciones típicas de magnitudes con unidades u órdenes de magnitud distintos: para eso sirve el coeficiente de variación, que relaciona la dispersión con la media.
Olvidar que los cuartiles pueden calcularse con convenios distintos: esta página usa interpolación lineal, la misma de las hojas de cálculo, y otros textos pueden devolver valores algo diferentes.

Preguntas frecuentes

¿Qué diferencia hay entre media, mediana y moda?

La media es la suma de los valores dividida entre su número. La mediana es el valor central de los datos ordenados, o la media de los dos centrales si son un número par. La moda es el valor que más se repite. En una distribución simétrica casi coinciden; en una asimétrica se separan.

¿Debo usar la desviación típica poblacional o la muestral?

Si los datos son toda la colectividad que te interesa — las notas de toda la clase — usa la poblacional, que divide entre n. Si son una muestra de la que quieres extraer conclusiones sobre un conjunto más amplio, usa la muestral, que divide entre n − 1.

¿Qué indica el coeficiente de variación?

Es el cociente entre la desviación típica y la media, expresado en porcentaje. Sirve para comparar la dispersión de magnitudes distintas: una variabilidad de 5 sobre una media de 10 pesa mucho más que la misma variabilidad sobre una media de 1.000.

¿Cómo se calculan los cuartiles?

Q1 deja por debajo un cuarto de los datos ordenados y Q3 tres cuartos. Esta calculadora los obtiene por interpolación lineal entre los valores adyacentes a la posición teórica, el mismo convenio de las hojas de cálculo. La diferencia Q3 − Q1 es el rango intercuartílico.

¿En qué formato debo introducir los datos?

Como prefieras: separados por espacios, comas, puntos y comas o saltos de línea. Puedes pegar directamente una columna copiada de Excel o de un CSV. La coma se trata como separador entre valores, así que para los decimales hay que usar el punto.

Cómo funciona este cálculo

Media: x̄ = Σxᵢ / n. Mediana: valor en la posición (n + 1) / 2 sobre los datos ordenados, interpolado cuando la posición no es entera. Varianza poblacional: σ² = Σ(xᵢ − x̄)² / n; varianza muestral: s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1). La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza correspondiente. Los cuartiles se obtienen en la posición p × (n − 1) con interpolación lineal entre los valores adyacentes. Coeficiente de variación = σ / |x̄| × 100.

Propagación de errores

Incertidumbre de una magnitud calculada con cualquier fórmula, en cuadratura y como error máximo, y media de medidas repetidas con su error.

Regresión lineal

Recta de mínimos cuadrados con las incertidumbres de pendiente y ordenada, ponderada si tienes las σ, coeficiente de correlación y χ², con la gráfica.

Media de notas

Media simple y ponderada, y nota necesaria para el objetivo.

Probabilidad

Probabilidad clásica, condicionada, Bayes y distribución binomial.