Mathematik
Rechner für deskriptive Statistik
Fügen Sie Ihre Daten ein oder tippen Sie sie: Mittelwert, Median, Modus, Standardabweichung und Quartile werden beim Schreiben berechnet.
Wie diese Kennzahlen zu lesen sind
Deskriptive Statistiken fassen einen Datensatz in wenigen Maßzahlen zusammen und zerfallen in zwei Familien. Lagemaße sagen, wo die Mitte liegt: Mittelwert, Median und Modus. Streuungsmaße sagen, wie weit die Werte von dieser Mitte abweichen: Spannweite, Varianz, Standardabweichung und Interquartilsabstand. Man braucht beide Familien, denn zwei Datensätze mit gleichem Mittelwert können völlig unterschiedliche Formen haben.
Mittelwert und Median beantworten dieselbe Frage auf verschiedene Weise. Der Mittelwert summiert alle Werte und teilt durch ihre Anzahl, reagiert also auf Extremwerte: Ein einziges sehr hohes Gehalt verschiebt den Durchschnitt eines Büros. Der Median ist der Wert in der Mitte der sortierten Daten, und ein einzelner Ausreißer bewegt ihn nicht. Weichen Mittelwert und Median stark voneinander ab, ist die Verteilung schief, und der Median beschreibt den typischen Fall besser.
Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz und hat den Vorzug, in derselben Einheit wie die Daten ausgedrückt zu sein. Es gibt zwei Varianten: Die der Population teilt durch n und wird verwendet, wenn die Daten die gesamte interessierende Gruppe sind; die der Stichprobe teilt durch n − 1 (Bessel-Korrektur) und wird verwendet, wenn die Daten eine Stichprobe aus einer größeren Grundgesamtheit sind. Die zweite fällt etwas größer aus, weil sie die Tendenz der Stichprobe korrigiert, die tatsächliche Streuung zu unterschätzen.
Zahlenbeispiel mit den Daten 12, 15, 15, 18, 21, 24, 24, 24, 30: Die Summe ist 183 bei 9 Werten, der Mittelwert also 20,33. Sortiert ist der mittlere Wert der fünfte, nämlich 21: das ist der Median. Die 24 kommt dreimal vor und ist der Modus. Die Standardabweichung der Population beträgt 5,52, die der Stichprobe 5,85. Das erste Quartil liegt bei 15, das dritte bei 24, die Hälfte der Daten liegt also zwischen diesen beiden Werten.
Häufige Fehler
- Die Stichproben-Standardabweichung für Daten verwenden, die die ganze Population darstellen, oder umgekehrt: Bei großen Datensätzen ist der Unterschied vernachlässigbar, unter etwa dreißig Beobachtungen aber spürbar.
- Eine stark schiefe Verteilung wie Einkommen allein durch den Mittelwert beschreiben: Der Median trifft den typischen Fall besser.
- Fehlenden Modus und Mehrgipfligkeit verwechseln: Kommen alle Werte gleich oft vor, gibt es keinen Modus, während zwei Werte mit derselben Höchsthäufigkeit eine bimodale Verteilung ergeben.
- Standardabweichungen von Größen mit verschiedenen Einheiten oder Größenordnungen vergleichen: Dafür ist der Variationskoeffizient da, der die Streuung auf den Mittelwert bezieht.
- Vergessen, dass Quartile nach verschiedenen Konventionen berechnet werden können: Diese Seite verwendet lineare Interpolation wie Tabellenkalkulationen, andere Lehrbücher liefern womöglich leicht abweichende Werte.
Häufige Fragen
Was ist der Unterschied zwischen Mittelwert, Median und Modus?
Der Mittelwert ist die Summe der Werte geteilt durch ihre Anzahl. Der Median ist der mittlere Wert der sortierten Daten, bei gerader Anzahl der Durchschnitt der beiden mittleren. Der Modus ist der am häufigsten vorkommende Wert. Bei symmetrischer Verteilung fallen sie fast zusammen, bei schiefer laufen sie auseinander.
Soll ich die Standardabweichung der Population oder der Stichprobe verwenden?
Sind die Daten die gesamte Gruppe, die Sie interessiert — die Noten einer ganzen Klasse —, nehmen Sie die der Population, die durch n teilt. Sind sie eine Stichprobe, aus der Sie auf eine größere Gruppe schließen wollen, nehmen Sie die der Stichprobe, die durch n − 1 teilt.
Was sagt der Variationskoeffizient aus?
Er ist das Verhältnis von Standardabweichung zu Mittelwert in Prozent. Er erlaubt den Vergleich der Streuung unterschiedlicher Größen: Eine Streuung von 5 bei einem Mittelwert von 10 wiegt weit schwerer als dieselbe Streuung bei einem Mittelwert von 1.000.
Wie werden die Quartile berechnet?
Q1 lässt ein Viertel der sortierten Daten unter sich, Q3 drei Viertel. Dieser Rechner ermittelt sie durch lineare Interpolation zwischen den Werten neben der theoretischen Position — dieselbe Konvention wie in Tabellenkalkulationen. Die Differenz Q3 − Q1 ist der Interquartilsabstand.
In welchem Format muss ich die Daten eingeben?
Wie Sie möchten: getrennt durch Leerzeichen, Kommas, Semikolons oder Zeilenumbrüche. Sie können eine aus Excel oder einer CSV-Datei kopierte Spalte direkt einfügen. Das Komma gilt als Trennzeichen zwischen Werten, für Dezimalstellen ist daher der Punkt zu verwenden.
So funktioniert diese Berechnung
Mittelwert: x̄ = Σxᵢ / n. Median: Wert an Position (n + 1) / 2 der sortierten Daten, interpoliert, wenn die Position nicht ganzzahlig ist. Populationsvarianz: σ² = Σ(xᵢ − x̄)² / n; Stichprobenvarianz: s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1). Die Standardabweichung ist die Wurzel der jeweiligen Varianz. Quartile werden an Position p × (n − 1) mit linearer Interpolation zwischen benachbarten Werten bestimmt. Variationskoeffizient = σ / |x̄| × 100.
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