Kalkulator statystyczny: średnia, mediana, dominanta, odchylenie

Jak czytać te miary

Statystyki opisowe sprowadzają zbiór danych do kilku miar i dzielą się na dwie rodziny. Miary położenia mówią, gdzie leży środek: średnia, mediana i dominanta. Miary rozproszenia mówią, jak bardzo wartości oddalają się od tego środka: rozstęp, wariancja, odchylenie standardowe i rozstęp międzykwartylowy. Potrzebne są obie rodziny, bo dwa zbiory o tej samej średniej mogą mieć zupełnie różny kształt.

Średnia i mediana odpowiadają na to samo pytanie na dwa sposoby. Średnia sumuje wszystkie wartości i dzieli przez ich liczbę, więc reaguje na wartości skrajne: jedna bardzo wysoka pensja przesuwa średnią całego działu. Mediana to wartość leżąca pośrodku po uporządkowaniu danych i pojedyncza obserwacja odstająca jej nie rusza. Gdy średnia i mediana wyraźnie się różnią, rozkład jest asymetryczny i to mediana lepiej opisuje typowy przypadek.

Odchylenie standardowe to pierwiastek kwadratowy z wariancji, a jego zaletą jest to, że wyraża się w tej samej jednostce co dane. Istnieją dwie wersje: dla populacji dzieli się przez n i stosuje wtedy, gdy dane obejmują całą interesującą nas zbiorowość; dla próby dzieli się przez n − 1 (poprawka Bessela) i stosuje wtedy, gdy dane są próbą pobraną z szerszej populacji. Druga wartość jest nieco większa, ponieważ koryguje skłonność próby do zaniżania rzeczywistej zmienności.

Przykład liczbowy dla danych 12, 15, 15, 18, 21, 24, 24, 24, 30: suma wynosi 183 przy 9 wartościach, więc średnia to 20,33. Po uporządkowaniu wartością środkową jest piąta, czyli 21 — to mediana. Liczba 24 pojawia się trzy razy i jest dominantą. Odchylenie standardowe populacji wynosi 5,52, a z próby 5,85. Pierwszy kwartyl to 15, a trzeci 24, więc połowa danych mieści się między tymi wartościami.

Częste błędy

Stosowanie odchylenia standardowego z próby do danych obejmujących całą populację albo odwrotnie: przy dużych liczebnościach różnica jest pomijalna, ale poniżej trzydziestu obserwacji staje się zauważalna.
Opisywanie samą średnią rozkładu silnie asymetrycznego, na przykład dochodów: mediana lepiej oddaje typowy przypadek.
Mylenie braku dominanty z dominantą wielokrotną: jeśli wszystkie wartości występują tyle samo razy, dominanty nie ma, natomiast dwie wartości o tej samej najwyższej częstości dają rozkład dwumodalny.
Porównywanie odchyleń standardowych wielkości o różnych jednostkach lub rzędach wielkości: do tego służy współczynnik zmienności, który odnosi rozproszenie do średniej.
Zapominanie, że kwartyle można liczyć według różnych konwencji: ta strona stosuje interpolację liniową, tak samo jak arkusze kalkulacyjne, a inne podręczniki mogą podawać nieco inne wartości.

Najczęstsze pytania

Czym różnią się średnia, mediana i dominanta?

Średnia to suma wartości podzielona przez ich liczbę. Mediana to wartość środkowa uporządkowanych danych albo średnia dwóch środkowych, gdy jest ich parzysta liczba. Dominanta to wartość występująca najczęściej. W rozkładzie symetrycznym niemal się pokrywają, w asymetrycznym rozchodzą.

Mam użyć odchylenia standardowego populacji czy z próby?

Jeśli dane to cała interesująca cię zbiorowość — oceny całej klasy — użyj wersji dla populacji, dzielącej przez n. Jeśli to próba, z której chcesz wnioskować o szerszym zbiorze, użyj wersji dla próby, dzielącej przez n − 1.

Co pokazuje współczynnik zmienności?

To stosunek odchylenia standardowego do średniej, wyrażony w procentach. Służy do porównywania rozproszenia różnych wielkości: zmienność 5 przy średniej 10 waży znacznie więcej niż ta sama zmienność przy średniej 1 000.

Jak liczy się kwartyle?

Q1 pozostawia poniżej siebie jedną czwartą uporządkowanych danych, a Q3 trzy czwarte. Ten kalkulator wyznacza je przez interpolację liniową między wartościami sąsiadującymi z pozycją teoretyczną — tak samo, jak robią to arkusze kalkulacyjne. Różnica Q3 − Q1 to rozstęp międzykwartylowy.

W jakim formacie wpisać dane?

Dowolnie: oddzielone spacjami, przecinkami, średnikami albo znakami nowego wiersza. Możesz wkleić kolumnę skopiowaną wprost z Excela lub pliku CSV. Przecinek jest traktowany jako separator między wartościami, więc dla części dziesiętnych trzeba użyć kropki.

Jak działa to obliczenie

Średnia: x̄ = Σxᵢ / n. Mediana: wartość na pozycji (n + 1) / 2 w uporządkowanych danych, interpolowana, gdy pozycja nie jest liczbą całkowitą. Wariancja populacji: σ² = Σ(xᵢ − x̄)² / n; wariancja z próby: s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1). Odchylenie standardowe to pierwiastek kwadratowy z odpowiedniej wariancji. Kwartyle wyznacza się na pozycji p × (n − 1) przez interpolację liniową między sąsiednimi wartościami. Współczynnik zmienności = σ / |x̄| × 100.

Propagacja niepewności

Niepewność wielkości obliczonej z dowolnego wzoru, metodą kwadratową i jako błąd maksymalny, oraz średnia z pomiarów powtarzanych z jej niepewnością.

Regresja liniowa

Prosta najmniejszych kwadratów z niepewnościami współczynnika kierunkowego i wyrazu wolnego, ważona, gdy masz σ, współczynnik korelacji i χ², z wykresem.

Średnia ocen

Średnia zwykła i ważona oraz ocena potrzebna do celu.

Prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo klasyczne, warunkowe, Bayes i rozkład dwumianowy.