Geometria
Kalkulator objętości i powierzchni
Wybierz bryłę, wpisz wymiary i otrzymaj objętość, powierzchnię całkowitą i boczną oraz wielkości, które zadania zwykle ukrywają: tworzącą, pole podstawy, przekątną.
Objętość, powierzchnia całkowita i boczna
Objętość i powierzchnia odpowiadają na różne pytania: objętość mówi, ile się mieści w środku — litrów wody w zbiorniku, metrów sześciennych betonu — a powierzchnia, ile materiału potrzeba na pokrycie. Skalują się nieintuicyjnie: po podwojeniu wszystkich wymiarów powierzchnia rośnie czterokrotnie, a objętość ośmiokrotnie, i dlatego jeden duży pojemnik jest wydajniejszy niż wiele małych.
Powierzchnię boczną podajemy osobno, bo w praktyce przydaje się najczęściej: pomalować ściany silosu, obłożyć kolumnę, wyliczyć etykietę owijającą puszkę. Dla kuli i czworościanu foremnego nie występuje: nie ma podstawy, którą dałoby się odróżnić od boków.
W stożku i ostrosłupie decydującym wymiarem jest tworząca — ukośny odcinek od wierzchołka do brzegu podstawy. Nie jest to wysokość i trzeba ją wyznaczyć twierdzeniem Pitagorasa: kalkulator ją oblicza i pokazuje, bo to właśnie tu najczęściej pojawia się błąd.
Częste błędy
- Użycie wysokości zamiast tworzącej w powierzchni bocznej stożka i ostrosłupa: tworząca jest zawsze większa od wysokości.
- Zapominanie, że powierzchnia całkowita walca obejmuje dwie podstawy, a nie jedną: wzór to 2πr(r+h).
- Mieszanie jednostek: objętości w centymetrach sześciennych nie porównasz z powierzchnią w metrach kwadratowych. Najpierw sprowadź wszystko do jednej jednostki.
Najczęstsze pytania
Czym różni się powierzchnia całkowita od bocznej?
Powierzchnia boczna to ściany bez podstaw; całkowita dolicza podstawy. Dla walca boczna wynosi 2πrh, a całkowita 2πr(r+h): różnicą są dwa koła podstaw.
Jak obliczyć litry w cylindrycznym zbiorniku?
Wpisz promień i wysokość w decymetrach: objętość wyjdzie w decymetrach sześciennych, a jeden decymetr sześcienny to dokładnie jeden litr. To najkrótsza droga od wymiarów do litrów, bez przeliczania.
Czy tworząca ostrosłupa to jego wysokość?
Nie. Wysokość biegnie od wierzchołka prostopadle do środka podstawy, a apotema od wierzchołka do środka krawędzi podstawy, po ścianie. Apotema jest dłuższa i to ona wchodzi do powierzchni bocznej.
Jak działa to obliczenie
Sześcian: V = l³, P = 6l², przekątna = l√3. Prostopadłościan: V = a·b·c, P = 2(ab+ac+bc). Kula: V = 4/3·πr³, P = 4πr². Walec: V = πr²h, boczna = 2πrh, P = 2πr(r+h). Stożek: tworząca = √(r²+h²), V = πr²h/3, boczna = πr·tworząca, P = πr(r+tworząca). Ostrosłup o podstawie kwadratowej: apotema = √(h²+(l/2)²), V = l²h/3, boczna = 2·l·apotema, P = l² + boczna. Czworościan foremny: V = l³/(6√2), P = √3·l².