Kalkulator obwodu i pola: 9 figur płaskich

Do czego służą obwód i pole

Obwód mierzy brzeg, pole — powierzchnię, którą brzeg zamyka: to dwa różne pytania, które prawie zawsze pojawiają się razem. Na ogrodzenie ogrodu potrzebny jest obwód, na trawnik do obsiania — pole, a ta sama figura może mieć duży obwód i małe pole; długi i wąski prostokąt pokazuje to natychmiast.

Trójkąt liczony jest tu z trzech boków wzorem Herona: wyznacza się połowę obwodu s = (a+b+c)/2, a pole jest pierwiastkiem z s(s−a)(s−b)(s−c). Odpowiada to temu, co naprawdę da się zmierzyć miarką, podczas gdy wysokość prawie zawsze trzeba wyliczyć. Dla kompletności kalkulator podaje także wysokość opuszczoną na podstawę — wielkość, której wymaga wzór szkolny.

Wielokąt foremny łączy oba światy: obwód i pole wynikają z liczby boków i długości boku, poprzez apotemę, czyli odległość środka od środka boku. Wraz ze wzrostem liczby boków wielokąt zbliża się do koła, a oba wyniki są zbieżne.

Częste błędy

Mylenie promienia ze średnicą w kole: średnicę trzeba podzielić przez dwa przed wpisaniem, inaczej pole wyjdzie czterokrotnie za duże.
Używanie ramienia zamiast wysokości w równoległoboku i trapezie: wysokość to odległość prostopadła między podstawami, zawsze mniejsza lub równa ramieniu.
Mieszanie jednostek: jeśli jeden wymiar jest w metrach, a drugi w centymetrach, wynik nic nie znaczy. Najpierw przelicz, potem licz.

Najczęstsze pytania

Czy mogę obliczyć pole trójkąta, nie znając wysokości?

Tak, i jest to przypadek typowy: wystarczą trzy boki. Wzór Herona daje pole, a kalkulator pokazuje dodatkowo wysokość na podstawę jako wielkość pochodną.

Dlaczego obwód elipsy jest przybliżony?

Ponieważ nie istnieje wzór elementarny: dokładny obwód to całka eliptyczna, stąd zresztą jej nazwa. Użyte tu przybliżenie Ramanujana myli się o mniej niż jedną miliardową dla każdej rozsądnej elipsy — znacznie mniej niż błąd pomiaru półosi.

W jakiej jednostce wychodzi wynik?

W tej samej, której użyłeś w danych. Jeśli mierzysz w metrach, obwód wyjdzie w metrach, a pole w metrach kwadratowych: kalkulator nie stosuje żadnego przeliczenia.

Jak działa to obliczenie

Kwadrat: P = 4l, A = l². Prostokąt: P = 2(b+h), A = b·h. Trójkąt (Heron): s = (a+b+c)/2, A = √(s(s−a)(s−b)(s−c)). Koło: L = 2πr, A = πr². Równoległobok: P = 2(b+l), A = b·h. Romb: P = 4l, A = (d₁·d₂)/2. Trapez: P = B+b+l₁+l₂, A = (B+b)·h/2. Wielokąt foremny o n bokach: P = n·l, apotema = l/(2·tan(π/n)), A = P·apotema/2. Elipsa: A = π·a·b, obwód ≈ π(a+b)[1 + 3h/(10+√(4−3h))] przy h = (a−b)²/(a+b)², przybliżenie Ramanujana.

Twierdzenie Pitagorasa

Brakująca przeciwprostokątna lub przyprostokątna, z polem, obwodem, kątami i twierdzeniami Euklidesa.

Rozwiązywanie trójkątów

Rozwiąż dowolny trójkąt z trzech miar, z przypadkiem niejednoznacznym włącznie.

Wzory trygonometryczne

Funkcje podstawowe, wzory na połowę kąta, podwojenie, sumę, prostaferezy i Wernera dla jednego lub dwóch kątów.

Objętość i powierzchnia

Objętość, powierzchnia całkowita i boczna siedmiu brył, z tworzącą i przekątną.